Main menu

19. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Α.   Για τα μη συγγραμμικά διανύσματα  \vec \alpha ,\vec \beta  ισχύει  \kappa \vec \alpha  + \lambda \vec \beta  = \vec 0 .

     Να αποδειχτεί ότι  \kappa  = \lambda  = 0  

Β.   Δίνονται τα διανύσματα \vec \alpha ,\vec \beta  για τα οποία ισχύουν:

     \left( {\vec \beta  + 2\vec \alpha } \right) \bot \left( {\vec \alpha  - \vec \beta } \right),\,\,\,\vec \alpha  \ne \vec \beta  και  2\vec \alpha  + \vec \beta  \ne \vec 0
   1.   Να αποδειχτεί ότι \vec \alpha ,\vec \beta   μη συγγραμμικά
   2.   Αν για το διάνυσμα \vec \gamma  ισχύει  \left( {\vec \gamma  - \vec \beta } \right)\,|\,|\,\vec \alpha \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vec \gamma \,|\,|\,\left( {\vec \alpha  + 2\vec \beta } \right) 

        να αποδειχτεί ότι \vec \gamma  = \vec \beta  + \frac{1}{2}\vec \alpha  
   3.   Δίνεται ότι \left| {\vec \alpha } \right| = \sqrt 2 . Να υπολογιστεί το μέτρο του \vec \gamma  = \vec \beta  + \frac{1}{2}\vec \alpha  

18. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα  \alpha \limits^ \to   = \left( {\alpha \,,\,2\beta  + 1} \right),\,\,\, \beta \limits^ \to   = \left( {4\beta  - \alpha \,,\,1 - 2\beta } \right),\,\,\,\alpha ,\beta  \in R.

Αν  \alpha \limits^ \to   \bot  \beta \limits^ \to  \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha  > 2\beta

Α.   Να αποδειχτεί ότι

   1.   \alpha  - 2\beta  = 1.

   2.   \alpha \limits^ \to   = \left( {\alpha \,,\,\alpha } \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \beta \limits^ \to   = \left( {\alpha  - 2\,,\,2 - \alpha } \right)

Β.   Αν επιπλέον ισχύει \left( { \alpha \limits^ \to  \, ,\limits^{^{ \,\limits^ \wedge  }} \, \alpha \limits^ \to  \, -  \beta \limits^ \to  } \right) = {45^o}  να αποδειχτεί ότι \alpha  = 1.

17. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα  u\limits^ \to   = \left( {4\beta  + \gamma  - \alpha \,\,,\,\,\alpha \gamma  + 4{\beta ^2}} \right) 

και  v\limits^ \to   = \left( {\alpha  - 2\beta ,0} \right),\,\,\,\alpha ,\beta ,\gamma  \in R .

Αν  u\limits^ \to  ||y'y

Α.   Να αποδειχτεί ότι  \left( {\widehat {{\rm O}x, u\limits^ \to  }} \right) = {90^o}.
Β.   Δίνεται ότι \left| { u\limits^ \to  } \right| = \left| { v\limits^ \to  } \right|\,  και \left( {\widehat {{\rm O}x,\, v\limits^ \to  }} \right) = {0^o}

   1.   Να βρεθούν τα διανύσματα  u\limits^ \to  ,\,\,\, v\limits^ \to  .

   2.   Αν επιπλέον \left( {\alpha \, u\limits^ \to   +  v\limits^ \to  } \right)||\left( { u\limits^ \to   + \gamma \, v\limits^ \to  } \right)  να υπολογιστούν οι αριθμοί \alpha ,\beta ,\gamma

16. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Δίνονται τα διανύσματα   alpha limits^ to   = left( {x,y} right),,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to   = left( {x - y,x + y} right),,,,x,y in R.

Αν ισχύει    alpha limits^ to   beta limits^ to   = 1 

Α.   Να δειχτεί ότι   left| { alpha limits^ to  } right| = left| { alpha limits^ to   -  beta limits^ to  } right|. 

Β.   Να υπολογιστούν οι γωνίες   left( { alpha limits^ to  ,,,,, beta limits^ to  } right)  και  ,left( { alpha limits^ to  ,,,,,,, alpha limits^ to   -  beta limits^ to  } right) 

Γ.   Αν η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα  alpha limits^ to    με τον ημιάξονα Οx είναι 135ο  να υπολογιστούν 

      οι συντεταγμένες των διανυσμάτων    alpha limits^ to  ,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to

 

15. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνονται τα διανύσματα

 alpha limits^ to   = left( {kappa  - lambda ,,,lambda  - kappa  + 1} right),  και   beta limits^ to   = left( {2kappa  + lambda ,,,lambda  + 2} right),,,,kappa ,lambda  in R

Αν  left| { alpha limits^ to  } right| = 1 

Α.   Να αποδείξετε ότι   alpha limits^ to   = left( {0,1} right),  ή  , alpha limits^ to   = left( {1,0} right) 

Β.   Αν επιπλέον   beta limits^ to  //, alpha limits^ to    να βρεθεί το διάνυσμα   beta limits^ to  .

14. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to  ,,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to   για τα οποία ισχύει ότι  left| { alpha limits^ to   - 2 beta limits^ to  } right| = left| { alpha limits^ to  } right| - 2left| { beta limits^ to  } right|

Α.   Να αποδειχτεί ότι   alpha limits^ to   uparrow  uparrow  beta limits^ to  . 

Β.   Αν   alpha limits^ to   = lambda  beta limits^ to    να αποδειχτεί ότι  lambda  ge 2. 

Γ.   Να αποδειχτεί ότι  left| { alpha limits^ to   + 2 beta limits^ to  } right| = left| { alpha limits^ to  } right| + 2left| { beta limits^ to  } right|. 

Δ.   Αν οι αριθμοί  left| { alpha limits^ to   - 2 beta limits^ to  } right|,,,kappa alpha iota ,,,left| { alpha limits^ to   + 2 beta limits^ to  } right|   είναι λύσεις της εξίσωσης   {x^2} - left( {left| { alpha limits^ to  } right| + 1} right)x + 12{ beta limits^ to  ^2} = 0

      να υπολογιστούν :  left| { alpha limits^ to  } right|,,,,left| { beta limits^ to  } right|.

13. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Μ ώστε

      2 {Gamma Delta }limits^ to   =  {Gamma {rm A}}limits^ to   +  {Gamma {rm B}}limits^ to

      3 {{rm E}Gamma }limits^ to   =  {{rm A}{rm E}}limits^ to

      2 {{rm B}{rm M}}limits^ to   = 3 {{rm B}Gamma }limits^ to                     

Α.   Να εκφραστούν τα διανύσματα   {{rm A}Delta }limits^ to  ,,,, {{rm A}{rm E}}limits^ to  ,,,kappa alpha iota ,,, {{rm A}{rm M}}limits^ to    ως προς   {{rm A}{rm B},}limits^ to  ,,,kappa alpha iota ,,, {{rm A}Gamma }limits^ to

Β.   Να εκφραστούν τα διανύσματα   {Delta {rm E}}limits^ to  ,,,kappa alpha iota ,,, {Delta {rm M}}limits^ to    ως προς  {{rm A}{rm B},}limits^ to  ,,,kappa alpha iota ,,, {{rm A}Gamma }limits^ to

Γ.   Να αποδειχτεί ότι το σημείο Ε είναι το μέσο του ΔΜ.

12. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται τα διαφορετικά ανά δύο σημεία Α, Β και Μ και ο πραγματικός αριθμός  lambda  in left( {0,1} right).

Αν ισχύει η σχέση   left( {2lambda  - 1} right) {{rm O}{rm M}}limits^ to   = lambda  {{rm O}{rm A}}limits^ to   + left( {lambda  - 1} right) {{rm O}{rm B}}limits^ to     να αποδειχτεί ότι: 

Α.   lambda  ne frac{1}{2} 

Β.    {{rm M}{rm A}}limits^ to  ,//,, {{rm M}{rm B}}limits^ to   

Γ.   Το σημείο Μ είναι εξωτερικό του τμήματος ΑΒ.

11. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to  , beta limits^ to    για τα οποία ισχύει ότι:  left| { beta limits^ to   -  alpha limits^ to  } right| le left| { alpha limits^ to  } right|

Α.   Να αποδειχτεί ότι  left| { alpha limits^ to   - 2 beta limits^ to  } right| le left| { alpha limits^ to   +  beta limits^ to  } right|

Β.   Αν επιπλέον  ισχύει:  left| { alpha limits^ to  } right| + frac{{left| { beta limits^ to  } right|}}{2} = left| { beta limits^ to  } right|sigma upsilon nu phi  , όπου  phi  = left( { { alpha limits^ to  , beta limits^ to  }limits^ wedge  } right) να αποδειχτούν

   1.   sigma upsilon nu phi  > frac{1}{2}

   2.   sigma upsilon nu phi  = 1

   3.    beta limits^ to   = 2 alpha limits^ to