Main menu

7. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνονται τα διανύσματα   alpha limits^ to  ,,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to    που σχηματίζουν γωνία  varphi   και η εξίσωση

C:{x^2} + {y^2} + 2x,sigma upsilon nu varphi  - 4y,eta mu varphi  + 3eta {mu ^2}varphi  + sigma upsilon nu varphi  = 0

Α.   Αν η εξίσωση C παριστάνει σημείο να αποδειχτεί ότι   alpha limits^ to   uparrow  uparrow  beta limits^ to

Β.   Αν τα διανύσματα   alpha limits^ to  ,,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to     δεν είναι ομόρροπα

   1.   Να δειχτεί ότι  η εξίσωση C παριστάνει κύκλο

   2.   Να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ του κύκλου

   3.   Αν επιπλέον η ευθεία varepsilon : - xsigma upsilon nu varphi  + yeta mu varphi  + sqrt 2  - 1 = 0

        εφάπτεται του κύκλου  C  να αποδειχτεί ότι

      α.   eta {mu ^2}varphi  = sqrt {1 - sigma upsilon nu varphi }  - sqrt 2

      β.    alpha limits^ to   uparrow  downarrow  beta limits^ to

 

6. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Δίνονται οι κύκλοι   C:{x^2} + {y^2} + mu x - mu y + 2mu  - 2 = 0,,,,mu  in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι  mu  in left( { - infty ,2} right) cup left( {2, + infty } right)

Β.   Να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ για κάθε  mu  in left( { - infty ,2} right) cup left( {2, + infty } right)

Γ.   Να αποδειχτεί ότι οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από σταθερό σημείο.

Δ.   Να βρεθεί ο κύκλος του οποίου το κέντρο Κ σχηματίζει με το  {rm A}left( {0,1} right)

      και την αρχή των αξόνων Ο ορθογώνιο τρίγωνο στο Κ.

 

1. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Δίν εται ότι η εξίσωση  {x^2} + {y^2} + 2left( {alpha  + 1} right)x + left( {2beta  - 1} right)y + frac{1}{4} = 0,,,,alpha ,beta  in R  παριστάνει σημείο Ν. Αν  {rm M}left( {alpha ,beta } right)

Α.  Να δειχτεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι κύκλος.

Β.   Να δειχτεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ν είναι κύκλος.

Γ.   Να βρεθεί η κοινή κατακόρυφη εφαπτομένη των παραπάνω κύκλων.

Δ.   Αν  Lambda left( { - frac{1}{2},frac{1}{4}} right)

       1.  Να αποδειχτεί ότι   (ΜΝ)=2(ΜΛ)

       2.  Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της απόστασης  (ΜΝ).

5. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται ο κύκλος   C:lambda {x^2} + lambda {y^2} - 2lambda x + 2y - 2 = 0.

Α.   Να αποδειχτεί ότι  lambda  in {R^*} - left{ { - 1} right}  και να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του.

Β.   Να αποδειχτεί ότι για κάθε lambda  in {R^*} - left{ { - 1} right} ο κύκλος C διέρχεται από σταθερό σημείο το οποίο

       και να βρεθεί.

Γ.   Να αποδειχτεί ότι οι κύκλοι C  έχουν κοινή εφαπτομένη.

4. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση    c:{x^2} + {y^2} - left( {2alpha  + 1} right)x - 2alpha y + {alpha ^2} - 3alpha  - frac{{15}}{4} = 0

Α.   Να αποδειχτεί ότι   alpha  in A = left( { - infty , - 2} right) cup left( { - 2, + infty } right)

Β.   Να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου c για κάθε  alpha  in A

Γ.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει κοινή κατακόρυφη εφαπτομένη και κοινή οριζόντια  

      εφαπτομένη όλων των κύκλων  c.

3. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται το σημείο {rm M}left( {alpha ,beta } right)  που ανήκει στον κύκλο  C:{x^2} + {y^2} - 4x - 21 = 0   και το σημείο  {rm N}left( {alpha  + beta ,beta  - alpha } right).

Α.  Να αποδειχτεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ν είναι κύκλος.

Β.  Να αποδειχτεί ότι {rm M}{rm N} bot {rm O}{rm M},  όπου Ο η αρχή των αξόνων.

Γ.  Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση {rm M}{rm N}.

Δ.  Να βρεθεί η θέση του σημείου Μ όταν η ευθεία {rm M}{rm N} εφάπτεται στον κύκλο .

2. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Δίνεται η εξίσωση  Z:{x^2} + {y^2} + alpha x + 2beta y - alpha beta  = 0,,,,beta  ne 0  και η ευθεία varepsilon :alpha x - 2beta y = 0  η οποία σχηματίζει με τον άξονα x'x  γωνία  omega  ne frac{{3pi }}{4}. Να αποδειχτεί ότι:

Α.   Η εξίσωση Z  παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ.

Β.   Η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο Z  αν και μόνο αν  alpha  = 0.

Γ.   Για β σταθερό οι κύκλοι Z  έχουν μοναδικό κοινό σημείο {rm A} και για α σταθερό οι κύκλοι Z  έχουν μοναδικό κοινό σημείο {rm B}.

Δ.   Για κάθε α,β ισχύει:  left( {{rm A}{rm B}} right) = rho sqrt 2