Main menu

5. B΄ Λυκείου/ Γενικής / Συστήματα

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται το σύστημα  left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{beta x + beta y = 1}{alpha x + beta y = 2}end{array}} right.,,,mu varepsilon ,,,beta  > 0,,,kappa alpha iota ,,,alpha  in R.

Αν ισχύει  {D_x} + {D_y} < 0  τότε:

Α.   Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση η οποία και να βρεθεί.

Β.   Αν   alpha ,,,beta  in mathbb{N}  και ισχύει  {D_x} + {D_y} + 2alpha  = 3

      να δείξετε ότι  {x_0} = 1,,,kappa alpha iota ,,,{y_0} = 0.

4. B΄ Λυκείου/ Γενικής / Συστήματα

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται το σύστημα  left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{2x - alpha y = 1}{x + beta y = 2}end{array}} right.,,,mu varepsilon ,,,alpha  > 0,,,kappa alpha iota ,,,beta  in R.

Αν ισχύει  D ge {D_x}  τότε:

Α.   Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση η οποία και να βρεθεί.

Β.   Αν   alpha ,,,beta  in mathbb{N}  και για τη μοναδική λύση  left( {{x_0},,,{y_0}} right)  του συστήματος ισχύει  {x_0} = {y_0}

      να δείξετε ότι  {x_0} = {y_0} = 1.

3. B΄ Λυκείου/ Γενικής / Συστήματα

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται το 2x2 γραμμικό σύστημα (Σ) για τις ορίζουσες του οποίου ισχύουν:

left| {{D_x} + {D_y} + D} right| + left| {{D_x} - {D_y} + 3D} right| = 0  και  {D_x} > {D_y}.  

Α.   Να δείξετε ότι το (Σ) έχει μοναδική λύση. 

Β.   Να βρεθεί η μοναδική λύση του (Σ).

Γ.   Να δείξετε ότι  D < 0. 

Δ.   Να δείξετε ότι   {D_x} > 0,,,,{D_y} < 0,,,kappa alpha iota ,,,{D_x} >  - {D_y}.

 

2. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συστήματα

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται το σύστημα  

{alpha left( {x - alpha } right) + beta left( {y - beta } right) = {alpha ^2} + {beta ^2}} 
{beta left( {beta  - x} right) + alpha left( {y + alpha } right) = 0}

με αγνώστους  x, y και  α, β∈R

A.   Αν  D  είναι η ορίζουσα του συστήματος να δείξετε ότι ισχύει:  D = 0 Leftrightarrow alpha  = beta  = 0 .

B.   Να δείξετε ότι το σύστημα δεν είναι αδύνατο.

Γ.   Αν ισχύει  left| alpha  right| + left| beta  right| ne 0  να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την  left( {x,y} right) = left( {2alpha  + beta ,,,2beta  - alpha } right) .

1. B΄ Λυκείου/ Γενικής / Συστήματα

Αξιολόγηση Χρήστη: 3 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται το σύστημα  begin{array}{l}left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{{alpha _1}x + {beta _1}y = {gamma _1}}{{alpha _2}x + {beta _2}y = {gamma _2}}end{array}} right.end{array}   με ορίζουσες  D,,,,{D_x},,,,{D_y}.

Αν ισχύουν:  {D_x} < {D_y},,,,,,,{D_x} + {D_y} = 5D,,,,,,kappa alpha iota ,,,,,,{D_x}{D_y} = 6{D^2}

A.   Να αποδειχτεί ότι το σύστημα έχει μία μοναδική λύση.

Β.   Να λυθεί το σύστημα.

Γ.   Έστω η λύση του συστήματος είναι η  left( {3,2} right),  και   {gamma _1} = {gamma _2} = 1  

   1.   Να αποδειχτεί ότι  {alpha _1}{beta _2} < {alpha _2}{beta _1}

   2.   Να αποδειχτεί ότι  {beta _2} < {beta _1}

   3.   Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκουν τα σημεία  left( {{alpha _1},{beta _1}} right),,,,kappa alpha iota ,,,left( {{alpha _2},{beta _2}} right)

8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Έστω f:R \to R με f γνησίως φθίνουσα στο \left( { - \infty ,0} \right)

και για κάθε x \in R ισχύει f\left( {{x^2}} \right) = 2f\left( x \right). Να δειχτεί ότι:

Α.   Η {C_f}  περνά από την αρχή των αξόνων.

Β.   Η f είναι άρτια και να υπολογίσετε f\left( 1 \right) και f\left( { - 1} \right) .

Γ.   Η f  είναι γνησίως αύξουσα στο \left( {0, + \infty } \right).

Δ.  

   1.   Για κάθε x \in \left( {0,1} \right) f\left( {{x^2}} \right) < f\left( x \right) < f\left( {\sqrt x } \right)

   2.  f\left( x \right) \le 0, για κάθε x \in \left[ { - 1,1} \right].

x \in \left[ { - 1{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} 1} \right]

7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:R \to R  και για κάθε x \in R  ισχύει f\left( x \right) > 0  και g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( { - x} \right) .

Να αποδειχτεί ότι:

Α.   η f  δεν είναι περιττή ενώ η g  είναι περιττή

Β.   αν g\left( x \right) = \alpha ,\,\,\,\forall x \in R  τότε η f  είναι άρτια

Γ.   αν η f  είναι γνησίως φθίνουσα τότε:

   1.   η g  είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   xg\left( x \right) \le 0,\,\,\,\forall x \in R.

6. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνάρτηση  f  περιττή και γνησίως αύξουσα στο R.

Α.   Να δείξετε ότι  fleft( 0 right) = 0,,,kappa alpha iota ,,,x,fleft( x right) > 0,,,,forall x in {R^ * }

Β.   Αν  gleft( x right) = {x^2} - fleft( 1 right)x + fleft( { - 1} right)fleft( 1 right),,,,x in R  τότε να δείξετε ότι

   1.   Η γραφική παράσταση της  g  τέμνει τον άξονα  x’x  σε δύο διαφορετικά σημεία.

   2.   gleft( x right) = {left( {x - frac{{fleft( 1 right)}}{2}} right)^2} - frac{{5{f^2}left( 1 right)}}{4},,,,forall x in R

   3.   Αν η ελάχιστη τιμή της  g  είναι η  -5  τότε   fleft( { - 1} right) =  - 2

 Γ.   Αν για κάθε  x in R*   ισχύει   frac{{fleft( x right)}}{x} + 4frac{x}{{fleft( x right)}} le 4   να βρείτε τον τύπο της  f.

5. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνάρτηση  f:A to mathbb{R}  με τύπο  fleft( x right) = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}{sqrt { - x}  + 1}&{frac{{ - 3}}{{{x^2}}} - frac{1}{{3x}}}{3x}&{sqrt { - x}  - 1}end{array}} right|.

Α.   Να βρείτε το πεδίο ορισμού της  A και να δείξετε ότι   fleft( x right) = frac{9}{x} - x,,,,forall x in {rm A}.

Β.   Να δείξετε ότι η  f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Γ.   Να δείξετε ότι η  f είναι γνησίως φθίνουσα στο  A.

Δ.   Να λύσετε την ανίσωση  fleft( { - sqrt { - x} } right) > fleft( x right).