Main menu

11. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Αξιολόγηση Χρήστη: 3 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = \sqrt {x + 2}  - \sqrt {4 - x}

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

Β.   Να αποδειχτεί ότι    f(x)(x - 1) > 0\,,\,\forall x \in {A_f} - \left\{ 1 \right\} 

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση  f\left( x \right) = x - 1

10. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Αξιολόγηση Χρήστη: 1 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται πολυώνυμο  f\left( x \right)  με  f\left( 1 \right) > 0  και  f\left( x \right)f\left( { - x} \right) = {x^4} + \alpha {x^3} - {x^2} + \beta x,\,\,\,\forall x \in R

όπου \alpha ,\beta  \in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι \alpha  = \beta  = 0

Β.   Να αποδειχτεί ότι η {C_f} διέρχεται από τα σημεία {\rm O}\left( {0,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm A}\left( { - 1,0} \right)

Γ.   Να βρεθεί ο τύπος του πολυωνύμου

Δ.   Να λυθεί η εξίσωση {f^2}\left( x \right) = 3{x^2} - 2\left( {4 + f\left( x \right)} \right)x + 4

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Δίνεται το πολυώνυμο  Pleft( x right) = {x^3} + left( {alpha  + 1} right){x^2} + left( {alpha  + beta } right)x + beta  + 1  με  alpha ,beta  in mathbb{R}.

Α.   Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης  Pleft( x right):left( {x + 1} right).

Β.   Αν ισχύει  beta  > frac{{{alpha ^2}}}{4}  να λύσετε την εξίσωση  Pleft( x right) = 1.

Γ.   Αν υπάρχει  rho  > 0  ώστε  Pleft( rho  right) < 0  να δείξετε ότι  beta  < frac{{{alpha ^2}}}{4}.

Δ.   Αν ισχύουν  Pleft( 1 right) =  - 1,,,kappa alpha iota ,,,Pleft( 0 right) =  - 3  να δείξετε ότι   Pleft( x right) = {x^3} + 3{x^2} - 2x - 3.

 

 

8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται το πολυώνυμο  fleft( x right) = alpha {x^5} + x - beta ,,,,alpha ,beta  in R.

Το  fleft( x right)  έχει ρίζα τον  rho  = 1  και η γραφική του παράσταση περνάει από το σημείο  {rm A}left( { - 1,, - ,4} right)

Α.   Δείξτε ότι:  alpha  = 1,,,kappa alpha iota ,,,beta  = 2.

Β.   Δείξτε ότι:  f  γνησίως αύξουσα στο R .

Γ.   Αν  Qleft( x right) = {x^6} - 2{x^5} + {x^2} - 4x + 4  τότε :

   1.   Να δειχτεί ότι:  x - 2  παράγοντας του  Qleft( x right)

   2.   Να λυθεί η ανίσωση   Qleft( x right) ge 0.

7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση  f   με τύπο  fleft( x right) = {x^3} + alpha {x^2} + beta x + 7,,,,x in R .

Αν η γραφική παράσταση της  f  περνά από το  {rm M}left( {1,,,4} right)  και  fleft( { - 1} right) = 0 τότε:

Α.   Να δείξετε ότι  fleft( x right) = {x^3} - 5{x^2} + x + 7  για κάθε  x in R.

Β.   Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης  fleft( x right):left( {x + 1} right).

Γ.   Λύστε την ανίσωση  fleft( x right) < 0 .

Δ.   Αν rho  in {mathbb{R}^*} και ισχύει  fleft( {left| rho  right|} right) < 0 να δείξετε ότι:

   1.   left| {left| rho  right| - 3} right| < sqrt 2

   2.   frac{6}{{left| rho  right|}} - frac{7}{{{rho ^2}}} > 1.

6. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Προτείνει ο Φώτης Σταυρίδης

Να βρεθεί πολυώνυμο P(x) τρίτου βαθμού αν γνωρίζετε ότι διαιρείται με το 2x2-1 , ότι έχει ρίζα το

 - frac{1}{3}   και ότι η γραφική παράσταση του πολυωνύμου διέρχεται από το σημείο Α(-1,-4). 

5. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο  fleft( x right) = {x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 2x + 1,  x in mathbb{R}.

Α.   Να δειχτεί ότι: δεν υπάρχει σημείο του x'x με τετμημένη ακέραιο από το οποίο

      διέρχεται η {C_f}.

Β.   Να δειχτεί ότι:  fleft( x right) = {x^2}left[ {{{left( {x - frac{1}{x}} right)}^2} + 2left( {x - frac{1}{x}} right) + 1} right], forall x in {mathbb{R}^ * }.

Γ.   Βρείτε τα σημεία τομής της  {C_f} με x'x.

4. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

A.   Να δείξετε ότι:  frac{{1 - {lambda ^2}}}{{{lambda ^2}}} >  - 1,,,,forall lambda  in {mathbb{R}^ * }.

B.   Αν ισχύει   sqrt {x + 1}  ge lambda x + lambda ,,,,forall x in left[ { - 1, + infty } right)  να δειχτεί ότι:  lambda  le 0.

3. Β΄Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Έστω το πολυώνυμο  {rm P}left( x right) = {x^4} - left( {lambda  + 1} right){x^3} + left( {{{left( {lambda  - 1} right)}^2}} right){x^2} - lambda x + 3lambda  - 1

το οποίο έχει παράγοντα το x - 1  και ισχύει  {rm P}left( 0 right) ne 2lambda  - 1

Α.   Να δειχτεί ότι   lambda  = 1

Β.   Να λυθεί η εξίσωση    {rm P}left( x right) = 0

Γ.   Αν  Qleft( x right) = {left( {x - {rm P}left( x right)} right)^2} + 3 - x   να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης

     Qleft( x right):left( {left( {x - 1} right)left( {x - 2} right)} right)