Main menu

3. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Έστω οι μιγαδικοί  {z_1} = alpha  + beta i,,,kappa alpha iota ,,,{z_2} = gamma  + delta i με  alpha ,beta  > 0,,,,gamma ,delta  < 0  και  left| {{z_1}} right| = left| {{z_2}} right| = 1

Δίνεται και η εξίσωση   {w^2} - 2sqrt 2 ,w + {left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|^2} = 0,,,,,,left( 1 right).  Να αποδειχτεί ότι:

Α.   left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right| = left| {{z_1} - {z_2}} right|

Β.   sqrt 2  < left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right| le 2

Γ.   η εξίσωση   (1)  δεν έχει πραγματικές λύσεις

Δ.   Αν  {w_1},{w_2}  οι λύσεις της  (1) τότε   left| {{w_1}} right| = left| {{w_2}} right| = left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|

Ε.   Η εξίσωση  left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|x = left( {3 + sqrt 2 } right)x - 3sqrt 2    έχει μία τουλάχιστον λύση στο  διάστημα  left( {0,left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|} right)

2. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Δίνεται η συνάρτηση    fleft( x right) = left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{{e^{frac{{ - 1}}{x}}}left( {frac{3}{x} + frac{2}{{{x^2}}}} right),,,,x ne 0}{,,,0,,,,x = 0}end{array}} right.

A.   Να βρεθούν οι ασύμπτωτές της

B.   Να μελετηθεί η μονοτονία της

Γ.   Να δειχτεί ότι η  f  είναι παραγωγίσιμη στο  left[ {0, + infty } right)  με  συνεχή f' σε αυτό.

Δ.   Να δειχτεί ότι   {lim }limits_{alpha  to  + infty } intlimits_{alpha  + 1}^alpha  {frac{{ - 3{x^2} - x + 2}}{{{x^2}left( {3x + 2} right)}}} ,dx = 0

Ε.   Να δειχτεί ότι forall x < 0  υπάρχει  xi  in left( { - infty , - 1} right) cup left( { - 1,0} right)   τέτοιο ώστε

      left( {x + 1} right)fleft( xi  right) = {x^2}fleft( x right) + 3intlimits_{ - 1}^x {{e^{ - ,frac{1}{t}}}} dt.

Ζ.    Να δειχτεί ότι  forall x <  - 1  ισχύει:   left( {x + 1} right)fleft( x right) < intlimits_{ - 1}^x {fleft( t right),} dt <  - eleft( {x + 1} right)

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνάρτηση    fleft( x right) = intlimits_2^x {frac{{ln t}}{{1 + {t^2}}}} ,dt,,,,,x > 0

A.   Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

B.   Να αποδειχτεί ότι

   1.   η  f  έχει μοναδικό σημείο καμπής  left( {{x_0},fleft( {{x_0}} right)} right).

   2.   f'left( {{x_0}} right) = frac{1}{{2{x_0}^2}}

   3.   intlimits_{frac{1}{2}}^1 {frac{{ln t}}{{1 + {t^2}}}} ,dt = intlimits_2^1 {frac{{ln t}}{{1 + {t^2}}}} ,dt

   4.    η εξίσωση  fleft( x right) = 0  έχει ακριβώς δύο λύσεις στο R

   5.   υπάρχουν   {xi _1},{xi _2} in left( {0, + infty } right):,,,,,,f'left( {{xi _1}} right) + 2f'left( {{xi _2}} right) = 0