Main menu

4. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:R \to R  με  f\left( x \right)g\left( x \right) = x - 1,\,\,\,\forall x \in R.

Αν η f  είναι παραγωγίσιμη στο 1

Α.   να αποδειχτεί ότι f\left( 1 \right) \ne 0\,\,\, \vee \,\,\,g\left( 1 \right) \ne 0

Β.   Δίνεται f\left( 1 \right) \ne 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 1

   2.  Έστω {\varepsilon _1},{\varepsilon _2}  οι εφαπτόμενες ευθείες των  {C_f},\,\,\,{C_g} στα σημεία \left( {1,f\left( 1 \right)} \right),\,\,\,\left( {1,g\left( 1 \right)} \right) αντίστοιχα.

         Αν   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{f^2}\left( x \right) - 2x - {f^2}\left( 1 \right) + 2}}{{x - 1}} = 0  να αποδειχτεί ότι  {\varepsilon _1}//{\varepsilon _2}.

3. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R με   {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - x}}{x} = \alpha  \in R .

Α.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι παραγωγίσιμη στο 0

Β.   Αν f'\left( 0 \right) = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( x \right) \ne x,\,\,\,\forall x > 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει  {x_o} > 0  τέτοιο ώστε f\left( {{x_o}} \right) > {x_o}

   2.   Να υπολογιστεί το όριο  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| {2f\left( x \right) - x - \eta \mu x} \right|}}{x}

   3.   Να αποδειχτεί ότι  f({\rm A}) = \left[ {0, + \infty } \right)

2. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται συνάρτηση f:\left[ {1, + \infty } \right) \to R  γνησίως αύξουσα με f\left( {{x^2}} \right) = 2f\left( x \right),\,\,\,\forall x \ge 1

 και υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο   {\lim }\limits_{x \to {x_{\,o\,}}} f\left( x \right),\,\,\,\forall {x_{\,o\,}} \ge 1.

Α.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι συνεχής

Β.   Να αποδειχτεί ότι  f\left( {\rm A} \right) = \left[ {0, + \infty } \right)

Γ.   Αν  f'\left( 1 \right) = 1  να υπολογιστεί το όριο  {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\,f\left( {{x^2}} \right) - \ln \left( {f\left( x \right) + 1} \right)}}{{x - 1}}

Δ.   Αν f  παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο,  \frac{1}{2} < f\left( 2 \right) < 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f'\left( 2 \right) = \frac{1}{2} , να αποδειχτεί ότι υπάρχει σημείο της  {C_f}  στο οποίο δέχεται εφαπτόμενη ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Δίνεται η συνάρτηση  f:left[ {0, + infty } right) to left( {0, + infty } right)  για την οποία  υπάρχει το   {lim }limits_{x to 0} frac{{fleft( x right) - 1}}{x} = alpha  in R

Αν  gleft( x right) = ln fleft( x right),,,,x ge 0  και ισχύει  fleft( x right)gleft( x right) = x,,,,forall x in left[ {0, + infty } right)

Α.  Να δειχτεί ότι  fleft( x right) ge 1,,,,forall x ge 0

Β.  Να δειχτεί ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0

Γ.  Να δειχτεί ότι  g'left( 0 right) = 1  και  f'left( 0 right) = 1

Δ.  Δίνεται ότι η  f  είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο  {x_0} in left[ {0, + infty } right).

     Να δειχτεί ότι η εφαπτομένη στο σημείο  {rm M}left( {{x_0},fleft( {{x_0}} right)} right)

     τέμνει τον άξονα x'x και μάλιστα σε σημείο με τετμημένη   - fleft( {{x_0}} right).

Ε.  Δίνεται ότι  η συνάρτηση  f  είναι παραγωγίσιμη και  fleft( {2{e^2}} right) = {e^2}

     Να δειχτεί ότι υπάρχει εφαπτομένη της  {C_f}  η οποία διέρχεται από το σημείο left( {0,2} right).