Main menu

15. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f:R \to R\,\,\,{\rm{\mu \varepsilon }}\,\,\,f\left( 0 \right) = 1

και η συνάρτηση g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}},\,\,\,\forall x \in \left( {1, + \infty } \right)

Α.   Να ορίσετε την σύνθεση της συνάρτησης f  με την συνάρτηση g

Β.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση \varphi \left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{x},\,\,\,x \in \left( { - \infty ,0} \right)  είναι γνησίως φθίνουσα

Γ.   Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f  τέμνει την γραφική παράσταση

     της συνάρτησης  h\left( x \right) =  - \frac{1}{x},\,\,\,x < 0  σε σημείο με τετμημένη  - \frac{1}{2}  να λυθεί η εξίσωση  g\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} .

14. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Α.   Δίνεται η συνάρτηση   f\left( x \right) = 1 - \sqrt {x - 1} ,\,\,\,\forall x \in \left[ {1, + \infty } \right)

   1.   Να αποδειχτεί ότι είναι αντιστρέψιμη

   2.   Να αποδειχτεί ότι {f^{ - 1}}\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1,\,\,\,\forall x \in \left( { - \infty ,1} \right]

   3.   Να λυθεί η εξίσωση  {f^3}\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( x \right)

Β.   Να βρεθεί η συνάρτηση  g:\left( { - \infty ,1} \right] \to R   αν ισχύει  g\left( {f\left( x \right)} \right) = \sqrt {2x - 2} ,\,\,\,\forall x \ge 1

13. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνάρτηση f\left( x \right) = {e^{ - x}} - {e^x},\,\,\,\forall x \in R .

Α.   Να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα

Β.   Να λυθεί η ανίσωση  f\left( {\ln x} \right) > \frac{1}{x} - 1

Γ.   Να λυθεί η ανίσωση  \frac{1}{{{e^{{e^x}}}}} - {e^{{e^x}}} < \frac{1}{e} - e

Δ.   Αν για την συνάρτηση  g:\left( { - \infty ,1} \right) \to R  ισχύει  f\left( {g\left( x \right)} \right) = \frac{1}{{1 - x}} - \left( {1 - x} \right),\,\,\,\forall x < 1 , να βρεθεί η συνάρτηση g

12. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνάρτηση f  γνησίως φθίνουσα στο R

και οι συναρτήσεις g,h  με g\left( x \right) = {h^2}\left( x \right) - 2h\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R .

Αν  {C_f}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{C_g}  τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο

Α.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει {x_o} \in R  με  f\left( {{x_o}} \right) \ge  - 1

      Για τον αριθμό {x_o} που βρέθηκε στο Α ερώτημα:

Β.   Αν  f\left( {{x_o}} \right) =  - 1

   1.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση g  παρουσιάζει ελάχιστη τιμή.

   2.   Αν  h\left( x \right) = {e^{ - x}} + {e^x} - 1,\,\,\,\forall x \in R

       i.   Να αποδειχτεί ότι {x_o} = 0

      ii.   Να λυθεί η ανίσωση  f\left( x \right) \ge {e^x} - 2

11. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται συνάρτηση  g,,,1 - 1,,,sigma tau o,,R  με  {g^{ - 1}}left( x right) = {e^{x + 1}} + x,,,,forall x in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα

Β.   Να λυθεί η εξίσωση  gleft( x right) = 0

Γ.   Να αποδειχτεί ότι frac{{gleft( x right)}}{{x - e}} > 0,,,forall x ne e

Δ.   Να λυθεί η εξίσωση  {g^{ - 1}}left( x right) = 0

Ε.   Δίνεται συνάρτηση  fleft( x right) = {g^2}left( x right) + 2gleft( x right) + 2,,,,forall x in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι παρουσιάζει ελάχιστη τιμή.

   2.   Να λυθεί η ανίσωση  {f^2}left( x right) le 2 - fleft( x right)

10. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνονται οι συναρτήσεις   phi left( x right) = sqrt x  + {e^{sqrt x }} - 1,,,,x in left[ {0, + infty } right) και  gleft( x right) = 1 - {e^{sqrt x }},,,,x in left[ {0, + infty } right)

Α.   Να αποδειχτεί ότι  g  1-1

Β.   Να αποδειχτεί ότι  {g^{ - 1}}left( x right) = {ln ^2}left( {1 - x} right),,,,forall x le 0

Γ.   Αν  fleft( x right) = phi left( {{g^{ - 1}}left( x right)} right),,,,forall x le 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι η  f  είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   Να υπολογιστεί η τιμή  {f^{ - 1}}left( e right)

   3.   Να λυθεί η εξίσωση  {f^{ - 1}}left( {1 - x} right) = x

9. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνάρτηση   gleft( x right) = {e^{ - x}} - x,,,,forall x in R.

Α.   Να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα

Β.   Να αποδειχτεί ότι  1 in gleft( R right)

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση  {g^{ - 1}}left( x right) = 1 - x

Δ.   Για την συνάρτηση  f  ισχύει ότι   {e^{fleft( x right)}} = frac{1}{{fleft( x right) + {e^x} + 1}},,,,forall x in mathbb{R}

   1.   Να αποδειχτεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   Να αποδειχτεί ότι  fleft( 1 right) =  - 1

   3.   Να βρείτε την  {f^{ - 1}}

 

8. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνάρτηση   fleft( x right) = frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}},,,,,x in R

Α.   Να δειχτεί ότι το σύνολο τιμών της είναι  fleft( {rm A} right) = left[ {frac{1}{3},3} right]

Β.   Να υπολογιστεί η θέση του ολικού μέγιστου της  f.

Γ.   Δίνεται ο μιγαδικός z και ότι υπάρχει  alpha  in R  ώστε   frac{z}{4} + frac{9}{z} = fleft( alpha  right)

   1.   Αν  alpha  =  - 1  να δειχτεί ότι  z = 6

   2.   Αν  alpha  ne  - 1  να δειχτεί ότι  left| z right| = 6

   3.   Για alpha  in R να υπολογιστεί το  min left( {{{rm Re}nolimits} left( z right)} right)

7. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Δίνεται η συνάρτηση   fleft( x right) = ln left( {1 + {e^x}} right),,,,x in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως αύξουσα

Β.   Να αποδειχτεί ότι  {f^{ - 1}}left( x right) = ln left( {{e^x} - 1} right),,,,x > 0

Γ.   Να λυθεί η ανίσωση:  {f^{ - 1}}left( {{x^2} - x + 1} right) < ln left( {e - 1} right) 

Δ.   Να βρεθεί μία συνάρτηση g αν   gleft( { - ln left( {1 + {e^x}} right)} right) = x + 1,,,,forall x in R