Main menu

15. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R \to R  με f\left( x \right) \ne  - \frac{1}{2},\,\,\,\forall x \in R .

Αν f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}  και {f^2}\left( x \right) \le 2 - f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R  να αποδειχτεί ότι f\left( R \right) \subseteq \left( { - \frac{1}{2},1} \right]

14. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:\left[ {1, + \infty } \right) \to R  με f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - x + 1} \right) < 0,\,\,\,\forall x > 1

Α.   Να αποδειχτεί ότι f\left( x \right) > 0,\,\,\,\forall x > 1

Β.   Να αποδειχτεί ότι f\left( 1 \right) = 0

Γ.   Να υπολογιστεί το όριο   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{{x - 1}}

13. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Όριο

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνάρτηση f:\left( {0, + \infty } \right) \to R . Αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( {{e^\alpha }} \right){x^3} - \alpha {x^2} - {e^\alpha }x + e + 1}}{{x - 1}},\,\,\,\forall \alpha  \in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι f\left( x \right) = \ln x + x - e - 1,\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι γνησίως αύξουσα

Γ.   Αν για την συνάρτηση g:R \to \left( {0, + \infty } \right)  ισχύει  \ln g\left( x \right) + g\left( x \right) = x,\,\,\,\forall x \in R  να αποδειχτεί ότι

   1.   g  1-1

   2.   {g^{ - 1}}\left( x \right) = \ln x + x,\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)

12. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση  f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R.

Αν ισχύει  {f^2}\left( x \right) = 2{e^x}f\left( x \right) - 1,\,\,\,\forall x \ge 0

Α. Να αποδειχτεί ότι  f\left( 0 \right) = 1

Β. Να αποδειχτεί ότι  {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) \ne  - \infty \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) < 1

Γ. Να αποδειχτεί ότι  f\left( x \right) \le {e^x},\,\,\,\forall x \ge 0

Δ. Να αποδειχτεί ότι   f\left( x \right) = {e^x} - \sqrt {{e^{2x}} - 1} ,\,\,\,\forall x \ge 0

Ε. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της  f.

11. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Αξιολόγηση Χρήστη: 5 / 5

Αστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια ΕνεργάΑστέρια Ενεργά

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f:R \to R  με f\left( R \right) = \left( { - \infty ,0} \right)

και η συνάρτηση  h\left( x \right) = \ln x + x,\,\,\,x > 0

Α.   Να δειχτεί ότι η συνάρτηση h  έχει μοναδική ρίζα {x_{\,1}}  στο διάστημα \left( {0,1} \right).

Β.   Να αποδειχτεί ότι η γραφική παράσταση της f  τέμνει την γραφική παράσταση της h

      ακριβώς μία φορά σε σημείο με τετμημένη {x_o}.

Γ.   Να αποδειχτεί ότι  {x_o} < {x_{\,1}}.

Δ.   Να λυθεί η ανίσωση:  f\left( {x - {x_o}} \right) - f\left( {1 - {x_o}} \right) + 1 < \ln \left( {x - {x_o}} \right) - \ln \left( {1 - {x_o}} \right) + x.

10. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται η συνάρτηση   fleft( x right) = frac{1}{x} + {e^{1 - x}},,,,x in {rm A} = left( {0, + infty } right) 

Α.   Να αποδειχτεί ότι  είναι γνησίως φθίνουσα

Β.   Να βρεθεί το σύνολο τιμών της

Γ.   Να λυθεί η ανίσωση  fleft( x right) ge 2 

Δ.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει  {x_o} in left( {1,2} right):,,,fleft( {{x_o}} right) = 1  

Ε.   Αν υπάρχει μιγαδικός αριθμός  z  που ικανοποιεί την ισότητα

     fleft( {left| {z - i} right| - 2} right) = 1  να αποδείξετε ότι  2 < left| z right| < 5.

 

9. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνονται οι συναρτήσεις  f,,,kappa alpha iota ,,,g  ορισμένες και συνεχείς στο  {rm A} = left( {0, + infty } right)  με    {lim }limits_{x to 0} frac{{fleft( x right) - gleft( x right)}}{x} =  - 1

Αν  gleft( {rm A} right) subseteq left( {0,1} right)  και η  g  είναι γνησίως φθίνουσα τότε

Α. Να αποδειχτεί ότι:   {lim }limits_{x to 0} gleft( x right) > 0
Β. Να αποδειχτεί ότι:   {lim }limits_{x to 0} fleft( x right) { = lim }limits_{x to 0} gleft( x right)
Γ. Αν επιπλέον  fleft( 1 right) = gleft( 1 right) + 1  να αποδειχτεί ότι υπάρχει  {x_ circ } > 0  ώστε  fleft( {{x_ circ }} right) = gleft( {{x_ circ }} right)

 

 

8. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνεται συνάρτηση  f  συνεχής και γνήσια φθίνουσα στο  Delta  = left[ {0,1} right]

με  0 < fleft( x right) < 1  για κάθε  x in Delta   και ο μιγαδικός  z = fleft( x right) + x cdot i,,,,x in Delta .

Να δειχτεί ότι:

Α.   η συνάρτηση  gleft( x right) = left| {z - x} right|,,,,x in Delta   παρουσιάζει μέγιστη τιμή.

Β.   η εξίσωση  fleft( x right) = x  έχει μοναδική λύση στο  left( {0,1} right).

Γ.   Η  {C_g}  τέμνει την διχοτόμο  varepsilon :y = x  σε ακριβώς ένα σημείο.

7. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Αξιολόγηση Χρήστη: 0 / 5

Αστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια ΑνενεργάΑστέρια Ανενεργά

Δίνονται οι συναρτήσεις  fleft( x right) = {2^x},,,kappa alpha iota ,,,gleft( x right) = {2^{ - x}} + 1

Α.   Για την συνάρτηση  phi left( x right) = fleft( x right) + gleft( x right)

    1.   Να δειχτεί ότι δεν είναι 1-1.

    2.   Να δειχτεί ότι   phi left( x right) ge 3,,,,forall x in R .

    3.   Να βρεθεί το    {lim }limits_{x to  + infty } phi left( x right)   

    4.   Να βρεθεί το σύνολο τιμών της.

Β.   Να δειχτεί ότι η   hleft( x right) = fleft( x right) - gleft( x right)  είναι 1-1.

Γ.   Να υπολογιστεί το όριο   {lim }limits_{x to  - infty } left( {fleft( x right) cdot eta mu x} right).

Δ.   Αν για την συνάρτηση G ισχύει  Gleft( x right) le hleft( x right),,,,forall x in R  να υπολογιστεί

    1.   το όριο   {lim }limits_{x to  - infty } frac{1}{{Gleft( x right)}}.

    2.   το όριο    {lim }limits_{x to  - infty } Gleft( x right)