3. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Έστω οι μιγαδικοί  {z_1} = alpha  + beta i,,,kappa alpha iota ,,,{z_2} = gamma  + delta i με  alpha ,beta  > 0,,,,gamma ,delta  < 0  και  left| {{z_1}} right| = left| {{z_2}} right| = 1

Δίνεται και η εξίσωση   {w^2} - 2sqrt 2 ,w + {left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|^2} = 0,,,,,,left( 1 right).  Να αποδειχτεί ότι:

Α.   left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right| = left| {{z_1} - {z_2}} right|

Β.   sqrt 2  < left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right| le 2

Γ.   η εξίσωση   (1)  δεν έχει πραγματικές λύσεις

Δ.   Αν  {w_1},{w_2}  οι λύσεις της  (1) τότε   left| {{w_1}} right| = left| {{w_2}} right| = left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|

Ε.   Η εξίσωση  left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|x = left( {3 + sqrt 2 } right)x - 3sqrt 2    έχει μία τουλάχιστον λύση στο  διάστημα  left( {0,left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|} right)