14. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί Αριθμοί/ Ρίζες

Πραγματικοί Αριθμοί

Α.   Να βρεθεί το ανάπτυγμα:  {\left( {\sqrt {27} - \sqrt 2 } \right)^2}

Β.   Να αποδειχτεί ότι  :  \frac{{\sqrt {29 - 6\sqrt 6 } - \sqrt {29 + 6\sqrt 6 } }}{{\sqrt 2 }} = - 2

Γ.   Να αποδειχτεί ότι:  \sqrt {44} - \sqrt {27} > \sqrt 2

Δ.   Να αποδειχτεί ότι:  \sqrt {\frac{{\left| {3\sqrt 3 + \sqrt 2 - 2\sqrt {11} } \right| - \left| {\sqrt {12} - \sqrt {44} } \right|}}{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}} = \sqrt 3 + \sqrt 2

 

 

3. A΄ Λυκείου/ Ανισώσεις/ Ανισώσεις 2ου βαθμού

Ανισώσεις

Δίνεται τριώνυμο δευτέρου βαθμού f  με 2 άνισες ρίζες : {x_1} = - 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{x_2} = \frac{8}{3}

Α.   Αν ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι αρνητικός αριθμός \left( {\alpha < 0} \right)  να υπολογιστούν τα πρόσημα των αριθμών:

   1.   f\left( 0 \right)\,\,,\,\,\,f\left( { - 2} \right)

   2.   f\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)

   3.   f\left( {\sqrt {\sqrt {10} + 4} } \right)

Β.   Δίνεται ότι το παραπάνω τριώνυμο είναι το  f\left( x \right) = \alpha {x^2} + \left( {2 - \alpha } \right)x + 5 - \alpha .

   1.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha = - 3

   2.   Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο

   3.   Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση:  {\rm A} = - 3{x^3} + 5{x^2} + 8x - 6\left( {x + 1} \right)

   4.   Αν  x > - 1  να αποδειχτεί ότι:   - 3{x^3} + 5{x^2} + 8x < 6\left( {x + 1} \right)

Γ.   Αν  f\left( \kappa \right)\,\,f\left( {\kappa + 4} \right) > 0  να αποδειχτεί ότι:  \kappa \in \left( { - \infty , - 5} \right) \cup \left( {\frac{8}{3}, + \infty } \right)

5. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ευθεία

Ευθεία

Δίνεται η εξίσωση  \varepsilon :\left( {\beta + 1} \right)x - {\beta ^2}y + \beta + 1 = 0,\,\,\,\beta \in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι παριστάνει ευθεία για κάθε \beta \in R .

Β.   Να αποδειχτεί ότι για κάθε  \beta \in R  οι ευθείες αυτές διέρχονται από σταθερό σημείο.

Γ.   Να υπολογιστεί ο  \beta \in R  αν η ευθεία ε απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση  \frac{1}{{\sqrt 5 }}

Δ.   Να υπολογιστεί ο \beta \in R  αν η ευθεία ε είναι παράλληλη στην ευθεία  \zeta :3x - 4y + 1 = 0

Ε.   Έστω οι τιμές {\beta _1},{\beta _2}   για τις οποίες οι αντίστοιχες ευθείες {\varepsilon _1},{\varepsilon _2}  είναι παράλληλες σε δοσμένη ευθεία \eta .

      Να αποδειχτεί ότι {\varepsilon _1} \equiv {\varepsilon _2} .

 

14. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

Δίνονται οι συναρτήσεις  f\left( x \right) = {x^2} - ln\left( {2x} \right) - 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,g\left( x \right) = ln\frac{x}{2}

Α.   Να αποδειχτεί ότι έχουν ακριβώς μία κοινή εφαπτόμενη ευθεία σε κοινό σημείο

Β.   Να αποδειχτεί ότι f\left( x \right) \ge g\left( x \right),\,\,\,\forall x > 0  και να εξεταστεί πότε ισχύει η ισότητα

Γ.   Να αποδειχτεί ότι:  {x^4} - ln\left( {2{x^2}} \right) \ge \frac{{1 - ln2}}{2},\,\,\,\forall x > 0

Δ.   να λυθεί η ανίσωση:  {x^4} - 1 \le 2ln{x^2} .

17. Β΄Λυκείου / Γενικής / Πολυώνυμα

Πολυώνυμα
Δίνεται η συνάρτηση f\left( x \right) = {x^2}   και τα σημεία Α, Β, Γ, Δ της {C_f}  
ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι τραπέζιομε μικρή βάση ΑΒ και {\rm A}{\rm B}||x'x . 
Αν {\rm A}\left( {\alpha ,f\left( \alpha \right)} \right),\,\,\,\alpha < 0 και το τραπέζιο έχει ύψος  \upsilon = 1
   1.   Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Β, Γ, Δ ως συνάρτηση του α.
   2.   Να αποδειχτεί ότι το εμβαδό του τραπεζίου δίνεται από την συνάρτηση   
         {\rm E}\left( \alpha \right) = - \alpha + \sqrt {1 + {\alpha ^2}} ,\,\,\,\alpha < 0
   3.   Να υπολογιστεί η τιμή του α όταν το εμβαδό του τραπεζίου ισούται με 2 τετραγωνικές μονάδες.