13. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Πολυώνυμα

Δίνεται το πολυώνυμο f\left( x \right) = \alpha {x^4} + \beta {x^3} + \gamma {x^2} + \delta x,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha \gamma \ne 0.

Αν για κάθε x \in {R^ * }  ισχύει \frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( { - x} \right)}} + \frac{{f\left( { - x} \right)}}{{f\left( x \right)}} = 2  τότε:

Α.   Να αποδειχτεί ότι \beta = \delta = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha \gamma > 0 .

Β.   Αν η εξίσωση f\left( x \right) = 2{x^3}  έχει τρεις λύσεις να αποδειχτεί ότι \left| \gamma \right| < \frac{1}{{\left| \alpha \right|}}.

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Επαναληπτικές

Δίνεται το πολυώνυμο {\rm P}\left( x \right) = {x^4} + \alpha {x^3} + \beta x + \alpha \beta ,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\alpha ,\beta \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha > \beta .

Α.   Να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης  {\rm P}\left( x \right):\left( {x + \alpha } \right).

Β.   Αν ισχύουν {\rm P}\left( 0 \right) = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm P}\left( 1 \right) = 6  να υπολογιστούν τα \alpha ,\beta .

Γ.   Αν \alpha = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\beta = 1 να λύσετε την ανίσωση: {\rm P}\left( x \right) \ge 2x + 4.

Δ.   Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία \theta \ne 2\kappa \pi + \frac{\pi }{2},\,\,\,\forall \kappa \in {\rm Z}  ισχύει {\rm P}\left( {\eta \mu \theta } \right) - 2\eta \mu \theta < 4.

8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Επαναληπτικές

Δίνεται η συνάρτηση f  με τύπο f\left( x \right) = \sqrt {1 - x} - x.

A.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f και να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα.

Β.   Να αποδειχτεί ότι το μοναδικό σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f  με τον άξονα x'x  είναι το {\rm A}\left( {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2},0} \right) .

Γ.   Να αποδειχτεί ότι ισχύει η ισοδυναμία: {f^2}\left( x \right) < 1\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x \in \left( {0,1} \right).

Δ.   Να λυθεί η ανίσωση: \frac{{{2^{ln\left( {1 - f\left( x \right)} \right)}}}}{{{2^{ln\left( {1 + f\left( x \right)} \right)}}}}\,\,\, < \,\,\,1.

12. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Πολυώνυμα

Δίνονται τα πολυώνυμα f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + \alpha x + 2  και g\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + \beta x + 4  με \alpha ,\beta \in R .

Αν {\rho _1},{\rho _2} \in R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,{\rho _1} \ne {\rho _2}  είναι κοινές ρίζες των f\left( x \right),g\left( x \right)  να δειχτεί ότι:

Α.  \left| {{\rho _1} + {\rho _2}} \right| > 2\sqrt 2 .

Β.   Να βρεθούν οι αριθμοί \alpha ,\beta  και οι {\rho _1},{\rho _2}.

Σελίδα 1 από 40