14. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Πολυώνυμα

Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g\left( x \right) = \sqrt {4 + {x^2}} - \sqrt {4 - {x^2}} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να δειχτεί ότι

   1.   η g είναι γνησίως φθίνουσα στο \left[ { - 2,0} \right] και γνησίως αύξουσα στο \left[ {0,2} \right]

   2.   η g έχει ελάχιστο το 0 και μέγιστο το  2\sqrt 2 .

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση: \sqrt {4 + {x^2}} - \sqrt {4 - {x^2}} = - \sqrt 2 x.

10. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Τριγωνομετρία

Δίνονται οι συναρτήσεις  f,g:\left[ { - \pi ,\pi } \right] \to R  με f\left( x \right) = \eta \mu x και g\left( x \right) = \sigma \upsilon \nu x.

Από τυχαίο σημείο {\rm A}\left( {x,f\left( x \right)} \right)  φέρνουμε κάθετη στον άξονα x'x η οποία θα τέμνει την {C_g}  στο σημείο Β.

Α.   Να βρεθούν τα σημεία Α και Β όταν ισχύει \left( {{\rm O}{\rm A}} \right) = \left( {{\rm O}{\rm B}} \right)  όπου Ο η αρχή των αξόνων.

Β.   Αν ΟΑΒ είναι τρίγωνο με εμβαδό {\rm E}\left( x \right)

   1.  Να αποδειχτεί ότι: x \ne - \frac{{3\pi }}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x \ne \frac{\pi }{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x \ne 0

   2.   Να αποδειχτεί ότι: {\rm E}\left( x \right) = \frac{{\left| {x\left( {\eta \mu x - \sigma \upsilon \nu x} \right)} \right|}}{2}

   3.   Να βρεθεί το σημείο Α όταν η απόστασή του από τον άξονα y'y ισούται με το διπλάσιο του εμβαδού του ΟΑΒ.

20. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Όριο - Συνέχεια

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:\left( { - \frac{\pi }{2},0} \right] \to R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,f\left( x \right) = \varepsilon \varphi x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,g\left( x \right) = \sqrt { - x}  .

Έστω το τυχαίο σημείο {\rm M}\left( {x,g\left( x \right)} \right),\,\,\,x \ne 0  της γραφικής παράστασης της g και ότι η κάθετη από το Μ στον άξονα των τετμημένων τέμνει αυτόν στο σημείο Α και την γραφική παράσταση της f στο Β. Αν d\left( x \right)  είναι η απόσταση του σημείου Μ από το σημείο \Gamma \left( { - 1,0} \right) και {\rm E}\left( x \right) το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ (Ο η αρχή των αξόνων) τότε:

Α.   Να αποδειχτεί ότι d\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + x + 1} ,\,\,\,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right) και {\rm E}\left( x \right) = \frac{{x\,\varepsilon \varphi x}}{2},\,\,\,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει σημείο Μ τέτοιο ώστε d\left( x \right) = {\rm E}\left( x \right) .

Γ.   Να υπολογιστεί το όριο   {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{d\left( x \right) + {\rm E}\left( x \right) - 1}}{x}

Δ.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση \varphi \left( x \right) = d\left( x \right) + {\rm E}\left( x \right) παίρνει την τιμή 1 τουλάχιστον μία φορά στο διάστημα \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right).

11. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} - \sqrt {x + 4} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να δειχτεί ότι είναι περιττή.

Γ.   Να δειχτεί ότι

   1.   η g είναι γνησίως φθίνουσα και να μελετηθεί το πρόσημό της.

   2.   η g έχει ελάχιστο το - 2\sqrt 2   και μέγιστο το 2\sqrt 2 .

Δ.   Να δειχτεί ότι για κάθε \alpha ,\beta \in {{\rm A}_g}  ισχύει  \,g\left( \alpha \right) + g\left( \beta \right) \ge - 4\sqrt 2 .

10. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g\left( x \right) = \sqrt {x + 2} - \sqrt {2 - x} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να δειχτεί ότι είναι περιττή.

Γ.   Να δειχτεί ότι

   1.   η g  είναι γνησίως αύξουσα και να μελετηθεί το πρόσημό της.

   2.   η g  έχει ελάχιστο το -2 και μέγιστο το 2.

   3.   για κάθε  \alpha ,\beta \in {{\rm A}_g}  ισχύει g\left( \alpha \right) + g\left( \beta \right) \le 4

Σελίδα 1 από 41