17. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Όριο

Για την συνάρτηση  f:R \to R   δίνονται τα όρια  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {\ln \alpha } \right)}}{x} = \beta  \in R,\,\,\,\forall \alpha  \in \left( {0, + \infty } \right)

και   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\alpha f\left( x \right) - 1 + {\alpha ^2}}}{{x - 1}} = \gamma  \in R,\,\,\,\forall \alpha  \in \left( {0, + \infty } \right) . Αν  f\left( {x + 1} \right) < f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R

Α.   Να δειχτεί ότι f\left( {\ln \alpha } \right) \ge \frac{1}{\alpha } - \alpha ,\,\,\,\forall \alpha  > 0
Β.   Να δειχτεί ότι  f\left( x \right) \ge {e^{ - x}} - {e^x},\,\,\,\forall x \in R
Γ.   Αν επιπλέον η συνάρτηση  είναι περιττή

   1.   Να δειχτεί ότι  f\left( x \right) = {e^{ - x}} - {e^x},\,\,\,\forall x \in R

   2.   Να βρεθεί η αντίστροφή της.