eMath:a - 17. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Όριο

Για την συνάρτηση $f:R \to R$ δίνονται τα όρια ${\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {\ln \alpha } \right)}}{x} = \beta \in R,\,\,\,\forall \alpha \in \left( {0, + \infty } \right)$

και ${\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\alpha f\left( x \right) - 1 + {\alpha ^2}}}{{x - 1}} = \gamma \in R,\,\,\,\forall \alpha \in \left( {0, + \infty } \right)$ . Αν $f\left( {x + 1} \right) < f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R$

Α.   Να δειχτεί ότι $f\left( {\ln \alpha } \right) \ge \frac{1}{\alpha } - \alpha ,\,\,\,\forall \alpha > 0$
Β.   Να δειχτεί ότι   $f\left( x \right) \ge {e^{ - x}} - {e^x},\,\,\,\forall x \in R$
Γ.   Αν επιπλέον η συνάρτηση είναι περιττή

1. Να δειχτεί ότι $f\left( x \right) = {e^{ - x}} - {e^x},\,\,\,\forall x \in R$

2. Να βρεθεί η αντίστροφή της.