Αν ισχύει  - 1 > \frac{1}{{\alpha \beta }}\,\,

Α.   Να αποδειχτεί ότι:  1 + \alpha \beta  > 0

Β.   Αν επιπλέον ισχύει   \frac{1}{\alpha } - \frac{1}{\beta } < \alpha  - \beta   να αποδειχτεί ότι: \alpha  < \beta

Δίνονται  \alpha  > 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\beta  <  - 1. Να αποδειχτούν

Α.  {\alpha ^2} + {\beta ^2} > 2

Β.  1 + \frac{1}{\beta } > \frac{1}{{\alpha \beta }} + \frac{1}{\alpha }

Γ.  \alpha  > \beta  + 2

Δ.  0 < \frac{1}{\alpha } - \frac{1}{\beta } < 2

Για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει  \alpha  \le  - \frac{1}{4}

Α.   Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης {\rm A} = \left| {4\alpha  + 1} \right| - 2\left| { - 2\alpha } \right|

Β.   Να αποδειχτεί ότι: 4\alpha  \le \frac{1}{{4\alpha }}

Γ.   Αν ισχύει και  \frac{{\sqrt { - 4\alpha  - 1} }}{{2\alpha }} + 1 \le 0  να υπολογιστεί η τιμή του α

Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει \frac{1}{{\left| {\alpha  + 1} \right|}} > 1

Α.   Nα αποδειχτεί ότι  \alpha  \in \left( { - 2, - 1} \right) \cup \left( { - 1,0} \right)

Β.   Να λυθεί η εξίσωση: \sqrt {{\alpha ^2} + 4\alpha  + 4}  = 2 - 2\left| {\alpha  + 1} \right|

Δίνεται ο αριθμός  x για τον οποίο ισχύει: |2x+3|≥7 

Α.   Να αποδειχτεί ότι:  x∈(-∞,-5]∪[2,+∞) 

Β.   Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:   B=||x+5|-|x-2|| 

Για τον πραγματικό αριθμό  α  ισχύει ότι   - 1 < alpha  < 2 

Α.   Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης   {rm A} = left| {alpha  + 1} right| - left| {alpha  - 2} right| + left| {2alpha  - 6} right| 

Β.   Να αποδείξετε ότι :  frac{alpha }{{alpha  + 1}} + frac{6}{{left( {alpha  + 1} right)left( {alpha  - 2} right)}} < frac{2}{{alpha  - 2}} 

Γ.   Αν ισχύει  alpha left| {alpha  - 2} right| ge 1   να υπολογιστεί η τιμή του  α. 

Δίνονται οι αριθμοί   alpha ,beta ,,,mu varepsilon ,,,2 le alpha  le 4,,,kappa alpha iota ,,, - 6 le beta  le  - 2.

Α.   Να υπολογιστούν οι δυνατές τιμές των παραστάσεων:  α-β   και   αβ

Β.   Αν επιπλέον  alpha  ne 4  να αποδειχτεί ότι:   frac{alpha }{beta } ge frac{{beta  - 2alpha  + 4}}{{4 - alpha }} 

Δίνονται οι αριθμοί   alpha ,beta ,,,mu varepsilon ,,, - 4 le alpha  le  - 2,,,kappa alpha iota ,,,2 le beta  le 6.

Α.   Να υπολογιστούν οι δυνατές τιμές των παραστάσεων  β-α  και  αβ

Β.   Αν επιπλέον  alpha  ne  - 2,,,kappa alpha iota ,,,beta  ne 2  να αποδειχτεί ότι:   frac{{alpha left( {beta  + 2} right)}}{{alpha  + 2}} > frac{{beta left( {alpha  - 2} right)}}{{beta  - 2}}

Α.   Αν  alpha  <  - 1  να αποδειχτεί ότι:  alpha  - 1 < frac{{1 - alpha }}{alpha }

Β.   Αν  alpha  < 1,,,kappa alpha iota ,,,alpha  ne 0  να αποδειχτεί ότι ισχύει:  alpha  - frac{1}{{{alpha ^2}}} < 1 - frac{1}{alpha }

Γ.   Αν  alpha  < beta  < 0  να αποδειχτεί ότι ισχύει:  frac{alpha }{{alpha  - beta }} > frac{{alpha  - beta }}{alpha }

Δ.   Αν  alpha  >  - beta  > 0  να αποδειχτεί ότι:

   1.  alpha beta  + {beta ^2} < 0

   2.   \frac{\alpha }{\beta } + \frac{\beta }{{\alpha  + \beta }} \le  - 3

Ε.   Δίνονται οι αριθμοί  alpha  < 0,,,kappa alpha iota ,,,beta  < 0  και ισχύει  frac{{1 + beta }}{{alpha  + beta }} < frac{beta }{{{alpha ^2}}} + frac{{beta left( {alpha  - 1} right)}}{{alpha left( {alpha  + beta } right)}}.

      Να αποδειχτεί ότι  alpha  < beta .