5. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί Αριθμοί/ Διάταξη

Πραγματικοί Αριθμοί

Α.   Αν  alpha < - 1  να αποδειχτεί ότι:  alpha - 1 < frac{{1 - alpha }}{alpha }

Β.   Αν  alpha < 1,,,kappa alpha iota ,,,alpha ne 0  να αποδειχτεί ότι ισχύει:  alpha - frac{1}{{{alpha ^2}}} < 1 - frac{1}{alpha }

Γ.   Αν  alpha < beta < 0  να αποδειχτεί ότι ισχύει:  frac{alpha }{{alpha - beta }} > frac{{alpha - beta }}{alpha }

Δ.   Αν  alpha > - beta > 0  να αποδειχτεί ότι:

   1.  alpha beta + {beta ^2} < 0

   2.   \frac{\alpha }{\beta } + \frac{\beta }{{\alpha + \beta }} \le - 3

Ε.   Δίνονται οι αριθμοί  alpha < 0,,,kappa alpha iota ,,,beta < 0  και ισχύει  frac{{1 + beta }}{{alpha + beta }} < frac{beta }{{{alpha ^2}}} + frac{{beta left( {alpha - 1} right)}}{{alpha left( {alpha + beta } right)}}.

      Να αποδειχτεί ότι  alpha < beta .

4. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί Αριθμοί/ Διάταξη

Πραγματικοί Αριθμοί

Δίνονται οι αριθμοί  alpha < 0,,,kappa alpha iota ,,,beta > 0   για τους οποίους ισχύει:

1 - frac{1}{{{alpha ^3}{beta ^3}}} le frac{1}{{{alpha ^2}{beta ^2}}} - frac{1}{{alpha beta }} .  Να αποδειχτεί ότι:

Α.   alpha beta = - 1

Β.   {alpha ^2} + {beta ^2} ge 2 

3. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί αριθμοί/ Ρίζες

Πραγματικοί Αριθμοί

Δίνεται ο αριθμός   alpha = sqrt {sqrt {x - 1} - sqrt {x - 2} } - sqrt {sqrt {x - 1} + sqrt {x - 2} } .

Α.   Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του πραγματικού αριθμού  x  ώστε να ορίζεται ο  alpha .

Β.   Να δειχτεί ότι:  {alpha ^2} = 2sqrt {x - 1} - 2.

Γ.   Αν  x = 10  να δειχτεί ότι ο  alpha   είναι ακέραιος και να βρεθεί η τιμή του.

Δ.   Να λυθεί η εξίσωση:  {alpha ^2} = 2x - 4.

2. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί Αριθμοί/ Ρίζες

Πραγματικοί Αριθμοί

Α.  Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:  {rm A} = sqrt {{alpha ^2} - 4alpha + 4} cdot sqrt {4 + 4alpha + {alpha ^2}} - sqrt {16 - 8{alpha ^2} + {alpha ^4}} ,,,,alpha in R 

Β.  Αν   frac{1}{3} le x le 2   να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:  {rm B} = sqrt {9{x^2} - 6x + 1} + 3sqrt {{x^2} + 4 - 4x}

1. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί Αριθμοί/ Ρίζες

Πραγματικοί Αριθμοί

A. Αν ισχύει  alpha ge 1  να αποδειχτεί ότι  frac{{sqrt {alpha - 1} }}{alpha } le frac{1}{2} 

 

Β. Αν ισχύει  frac{{sqrt { - alpha - 1} }}{alpha } + frac{1}{2} le 0  να υπολογιστεί η τιμή του πραγματικού αριθμού alpha