7. A΄ Λυκείου/ Εξισώσεις/ Εξισώσεις 2ου βαθμού

Εξισώσεις

Δίνεται ότι η εξίσωση  4{x^2} - 4left( {lambda - 2} right)x + 2{lambda ^2} - 4lambda + 3 = 0,,,,lambda in R  έχει δύο άνισες λύσεις.

A.   Να δειχτεί ότι :  - 1 < lambda < 1

Β.   Να δειχτεί ότι η εξίσωση  4{x^2} - 4x + 4lambda - 3 = 0  έχει δύο λύσεις άνισες οι οποίες και να

      βρεθούν.

Γ.   Αν  {x_1},,,,{x_2} είναι οι λύσεις του ερωτήματος Β και αν ισχύει  left( {{x_1} - 1} right)left( {{x_2} - 1} right) = frac{1}{8} να υπολογιστεί ο lambda .

Δ.   Να απλοποιηθεί η παράσταση :  frac{{sqrt {{lambda ^2} - 2lambda + 1} }}{{lambda - 1}}.

6. Α΄ Λυκείου/ Εξισώσεις/ Εξισώσεις 1ου βαθμού

Εξισώσεις

Α.   Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση:  {alpha ^2} - 2alpha - 3.

Β.   Αν η εξίσωση:  {alpha ^2}left( {x - 1} right) = alpha left( {2x + 1} right) + 3x,,,alpha in R   έχει μία μοναδική λύση

   1.   Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του  alpha in R

   2.   Αν η μοναδική λύση είναι ίση με  - frac{alpha }{{alpha + 5}}  να υπολογιστεί η τιμή του  alpha in R.

5. Α΄ Λυκείου/ Εξισώσεις/ Εξισώσεις 1ου βαθμού

Εξισώσεις

 Δίνεται η εξίσωση  α(β-x)=β(1-x).

Α.   Αν έχει μία μοναδική λύση

   1.   Να βρεθούν οι δυνατές τιμές των πραγματικών  α και β.

   2.   Αν η μοναδική λύση ισούται με  -α

      i.   Να δειχτεί ότι  β>0

      ii.  Αν επιπλέον β=1 να υπολογιστεί ο  α.

Β.   Αν έχει λύσεις τους αριθμούς  α και β

    1.   Να δειχτεί ότι  α=β

    2.   Να δειχτεί ότι έχει άπειρες λύσεις και να υπολογιστούν οι α και β.

4. A΄ Λυκείου/ Εξισώσεις/ Εξισώσεις 2ου βαθμού

Εξισώσεις

Δίνεται η εξίσωση:  {x^2} - 2left( {3 - alpha } right)x + {alpha ^2} + 3 = 0   η οποία έχει δύο άνισες λύσεις  {x_1},,,kappa alpha iota ,,,{x_2}.

Α.  Να δειχτεί ότι η διακρίνουσα είναι:  Delta = 24left( {1 - alpha } right).

Β.  Να δειχτεί ότι:   alpha < 1.

Γ.  Να υπολογιστεί ο  alpha  αν το γινόμενο των λύσεων είναι  4.

Δ.  Να υπολογιστεί ο  alpha   αν το γινόμενο των λύσεων είναι  ίσο με το άθροισμα των λύσεων.    

Ε.  Να αποδειχτεί ότι  {x_1} > 0,,,kappa alpha iota ,,,{x_2} > 0  για κάθε τιμή του  alpha .

2. Α΄Λυκείου/ Εξισώσεις/ Εξισώσεις 2ου βαθμού

Εξισώσεις

Οι αριθμοί  alpha + beta - 1,,,kappa alpha iota ,,,alpha + beta + 1  είναι λύσεις της εξίσωσης  {x^2} - 4{alpha ^2}x - gamma = 0.

A.  Να αποδειχτεί ότι  beta ge - frac{1}{8}.

B.  Αν  gamma = 3{alpha ^2}  να υπολογιστούν οι τιμές των  alpha ,,,kappa alpha iota ,,,beta .

1. Α΄Λυκείου/ Εξισώσεις/ Εξισώσεις 2ου βαθμού

Εξισώσεις

Δίνεται η εξίσωση: {x^2} - alpha sqrt 5 ,,x + {alpha ^2} + alpha - 1 = 0,,,,alpha in R   η οποία έχει δύο άνισες λύσεις  {x_1},{x_2} in {R^*}.

Α.  Να δειχτεί ότι η διακρίνουσα είναι: {left( {alpha - 2} right)^2}.

Β.  Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α.

Γ.  Αν το γινόμενο των λύσεων είναι  {rm P} = - {alpha ^2} + 4alpha + 4 να υπολογιστεί ο α.

Δ.  Για alpha = - 1   να κατασκευάσετε εξίσωση που να έχει λύσεις τους αριθμούς  frac{1}{{{x_1}}},,,kappa alpha iota ,,,frac{1}{{{x_2}}}.

Ε.  Αν η εξίσωση  left( {{x_1}{x_2}} right){x^2} - left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} right)x + {x_1}{x_2} = 0  έχει διπλή λύση, να υπολογίσετε

     την τιμή του α.