21. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα  \alpha \limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \beta \limits^ \to  με γωνία \left( { \alpha \limits^ \to \, ,\limits^{\widehat {}} \, \beta \limits^ \to } \right) = \phi

καθώς και τα διαφορετικά ανά δύο σημεία {\rm A}\left( {2\eta \mu \varphi \,,\,\sigma \upsilon \nu \varphi } \right), {\rm B}\left( { - \sigma \upsilon \nu \varphi \,,\,\eta \mu \varphi } \right) και \Gamma \left( {\sigma \upsilon \nu \varphi \,,\,\eta \mu \varphi } \right).

 Α.   Να αποδειχτεί ότι  \phi \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right]

 Β.   Αν τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά να αποδειχτεί ότι  \varepsilon \phi \phi = 1

 Γ.   Αν  \left| { {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to } \right| = \left| { {{\rm A}\Gamma }\limits^ \to } \right|\,

   1.   Να αποδειχτεί ότι: \, \alpha \limits^ \to \,|\,\,| \beta \limits^ \to

   2.   Αν επιπλέον { {\, \alpha \limits^ \to \, \uparrow \downarrow \, \beta \limits^ \to }\limits_{} }  να υπολογιστεί η γωνία θ του {\Gamma {\rm A}}\limits^ \to  με τον ημιάξονα Οx.

20. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα

Δίνονται τα σημεία  {\rm A}\left( {\beta + 1\,,\, - \alpha } \right),\,\,\,{\rm B}\left( {\alpha + 1,\beta } \right),\,\,\,\Gamma \left( {2\alpha + 1,\alpha + 2\beta } \right),\,\,\,\alpha ,\beta \in R .

Αν για τα διανύσματα {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {{\rm B}\Gamma }\limits^ \to  ισχύουν  {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to \,|\,|\, {{\rm B}\Gamma }\limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to \, \ne \, {{\rm B}\Gamma }\limits^ \to

Α.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha + \beta = 0

Β.   Αν επιπλέον ισχύουν \left( {{\rm O}x\,, {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to } \right) = {180^o}  και  \left| { {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to } \right| = 10
   1.   Να βρεθούν τα \alpha ,\beta
   2.   Να υπολογιστεί η απόσταση των μέσων Μ και Ν των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ και  ΒΓ αντίστοιχα.

19. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Α.   Για τα μη συγγραμμικά διανύσματα  \vec \alpha ,\vec \beta  ισχύει  \kappa \vec \alpha + \lambda \vec \beta = \vec 0 .

     Να αποδειχτεί ότι  \kappa = \lambda = 0  

Β.   Δίνονται τα διανύσματα \vec \alpha ,\vec \beta  για τα οποία ισχύουν:

     \left( {\vec \beta + 2\vec \alpha } \right) \bot \left( {\vec \alpha - \vec \beta } \right),\,\,\,\vec \alpha \ne \vec \beta  και  2\vec \alpha + \vec \beta \ne \vec 0
   1.   Να αποδειχτεί ότι \vec \alpha ,\vec \beta   μη συγγραμμικά
   2.   Αν για το διάνυσμα \vec \gamma  ισχύει  \left( {\vec \gamma - \vec \beta } \right)\,|\,|\,\vec \alpha \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vec \gamma \,|\,|\,\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right) 

        να αποδειχτεί ότι \vec \gamma = \vec \beta + \frac{1}{2}\vec \alpha  
   3.   Δίνεται ότι \left| {\vec \alpha } \right| = \sqrt 2 . Να υπολογιστεί το μέτρο του \vec \gamma = \vec \beta + \frac{1}{2}\vec \alpha  

18. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα  \alpha \limits^ \to = \left( {\alpha \,,\,2\beta + 1} \right),\,\,\, \beta \limits^ \to = \left( {4\beta - \alpha \,,\,1 - 2\beta } \right),\,\,\,\alpha ,\beta \in R.

Αν  \alpha \limits^ \to \bot \beta \limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha > 2\beta

Α.   Να αποδειχτεί ότι

   1.   \alpha - 2\beta = 1.

   2.   \alpha \limits^ \to = \left( {\alpha \,,\,\alpha } \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \beta \limits^ \to = \left( {\alpha - 2\,,\,2 - \alpha } \right)

Β.   Αν επιπλέον ισχύει \left( { \alpha \limits^ \to \, ,\limits^{^{ \,\limits^ \wedge }} \, \alpha \limits^ \to \, - \beta \limits^ \to } \right) = {45^o}  να αποδειχτεί ότι \alpha = 1.

17. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα  u\limits^ \to = \left( {4\beta + \gamma - \alpha \,\,,\,\,\alpha \gamma + 4{\beta ^2}} \right) 

και v\limits^ \to = \left( {\alpha - 2\beta ,0} \right),\,\,\,\alpha ,\beta ,\gamma \in R .

Αν  u\limits^ \to ||y'y

Α.   Να αποδειχτεί ότι  \left( {\widehat {{\rm O}x, u\limits^ \to }} \right) = {90^o}.
Β.   Δίνεται ότι \left| { u\limits^ \to } \right| = \left| { v\limits^ \to } \right|\,  και \left( {\widehat {{\rm O}x,\, v\limits^ \to }} \right) = {0^o}

   1.   Να βρεθούν τα διανύσματα  u\limits^ \to ,\,\,\, v\limits^ \to .

   2.   Αν επιπλέον \left( {\alpha \, u\limits^ \to + v\limits^ \to } \right)||\left( { u\limits^ \to + \gamma \, v\limits^ \to } \right)  να υπολογιστούν οι αριθμοί \alpha ,\beta ,\gamma

16. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Δίνονται τα διανύσματα   alpha limits^ to = left( {x,y} right),,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to = left( {x - y,x + y} right),,,,x,y in R.

Αν ισχύει    alpha limits^ to beta limits^ to = 1 

Α.   Να δειχτεί ότι   left| { alpha limits^ to } right| = left| { alpha limits^ to - beta limits^ to } right|. 

Β.   Να υπολογιστούν οι γωνίες   left( { alpha limits^ to ,,,,, beta limits^ to } right)  και  ,left( { alpha limits^ to ,,,,,,, alpha limits^ to - beta limits^ to } right).  

Γ.   Αν η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα  alpha limits^ to   με τον ημιάξονα Οx είναι 135ο  να υπολογιστούν 

      οι συντεταγμένες των διανυσμάτων    alpha limits^ to ,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to

 

15. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα

Δίνονται τα διανύσματα

alpha limits^ to = left( {kappa - lambda ,,,lambda - kappa + 1} right),  και   beta limits^ to = left( {2kappa + lambda ,,,lambda + 2} right),,,,kappa ,lambda in R. 

Αν  left| { alpha limits^ to } right| = 1 

Α.   Να αποδείξετε ότι   alpha limits^ to = left( {0,1} right),  ή  , alpha limits^ to = left( {1,0} right).  

Β.   Αν επιπλέον   beta limits^ to //, alpha limits^ to   να βρεθεί το διάνυσμα   beta limits^ to .

14. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to  για τα οποία ισχύει ότι  left| { alpha limits^ to - 2 beta limits^ to } right| = left| { alpha limits^ to } right| - 2left| { beta limits^ to } right|

Α.   Να αποδειχτεί ότι   alpha limits^ to uparrow uparrow beta limits^ to . 

Β.   Αν   alpha limits^ to = lambda beta limits^ to   να αποδειχτεί ότι  lambda ge 2. 

Γ.   Να αποδειχτεί ότι  left| { alpha limits^ to + 2 beta limits^ to } right| = left| { alpha limits^ to } right| + 2left| { beta limits^ to } right|. 

Δ.   Αν οι αριθμοί  left| { alpha limits^ to - 2 beta limits^ to } right|,,,kappa alpha iota ,,,left| { alpha limits^ to + 2 beta limits^ to } right|   είναι λύσεις της εξίσωσης   {x^2} - left( {left| { alpha limits^ to } right| + 1} right)x + 12{ beta limits^ to ^2} = 0

      να υπολογιστούν :  left| { alpha limits^ to } right|,,,,left| { beta limits^ to } right|.

13. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα

Διανύσματα

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Μ ώστε

      2 {Gamma Delta }limits^ to = {Gamma {rm A}}limits^ to + {Gamma {rm B}}limits^ to

      3 {{rm E}Gamma }limits^ to = {{rm A}{rm E}}limits^ to

      2 {{rm B}{rm M}}limits^ to = 3 {{rm B}Gamma }limits^ to                    

Α.   Να εκφραστούν τα διανύσματα   {{rm A}Delta }limits^ to ,,,, {{rm A}{rm E}}limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, {{rm A}{rm M}}limits^ to   ως προς   {{rm A}{rm B},}limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, {{rm A}Gamma }limits^ to

Β.   Να εκφραστούν τα διανύσματα   {Delta {rm E}}limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, {Delta {rm M}}limits^ to   ως προς  {{rm A}{rm B},}limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, {{rm A}Gamma }limits^ to

Γ.   Να αποδειχτεί ότι το σημείο Ε είναι το μέσο του ΔΜ.

Υποκατηγορίες

Διανύσματα

Επαναληπτικές