eMath:a - Διανύσματα

21. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα 20 Ιανουάριος 2018

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα $\alpha \limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \beta \limits^ \to$ με γωνία $\left( { \alpha \limits^ \to \, ,\limits^{\widehat {}} \, \beta \limits^ \to } \right) = \phi$

καθώς και τα διαφορετικά ανά δύο σημεία ${\rm A}\left( {2\eta \mu \varphi \,,\,\sigma \upsilon \nu \varphi } \right)$ , ${\rm B}\left( { - \sigma \upsilon \nu \varphi \,,\,\eta \mu \varphi } \right)$ και $\Gamma \left( {\sigma \upsilon \nu \varphi \,,\,\eta \mu \varphi } \right)$ .

Α. Να αποδειχτεί ότι $\phi \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right]$

Β. Αν τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά να αποδειχτεί ότι $\varepsilon \phi \phi = 1$

Γ. Αν $\left| { {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to } \right| = \left| { {{\rm A}\Gamma }\limits^ \to } \right|\,$

1. Να αποδειχτεί ότι: $\, \alpha \limits^ \to \,|\,\,| \beta \limits^ \to$

2. Αν επιπλέον ${ {\, \alpha \limits^ \to \, \uparrow \downarrow \, \beta \limits^ \to }\limits_{} }$ να υπολογιστεί η γωνία θ του ${\Gamma {\rm A}}\limits^ \to$ με τον ημιάξονα Οx.

20. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα 02 Δεκέμβριος 2017

Δίνονται τα σημεία ${\rm A}\left( {\beta + 1\,,\, - \alpha } \right),\,\,\,{\rm B}\left( {\alpha + 1,\beta } \right),\,\,\,\Gamma \left( {2\alpha + 1,\alpha + 2\beta } \right),\,\,\,\alpha ,\beta \in R$ .

Αν για τα διανύσματα ${{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {{\rm B}\Gamma }\limits^ \to$ ισχύουν ${{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to \,|\,|\, {{\rm B}\Gamma }\limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to \, \ne \, {{\rm B}\Gamma }\limits^ \to$

Α. Να αποδειχτεί ότι $\alpha + \beta = 0$

Β.   Αν επιπλέον ισχύουν $\left( {{\rm O}x\,, {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to } \right) = {180^o}$   και $\left| { {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to } \right| = 10$
   1.   Να βρεθούν τα $\alpha ,\beta$
   2.   Να υπολογιστεί η απόσταση των μέσων Μ και Ν των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα.

19. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα 06 Ιανουάριος 2017

Α. Για τα μη συγγραμμικά διανύσματα $\vec \alpha ,\vec \beta$ ισχύει $\kappa \vec \alpha + \lambda \vec \beta = \vec 0$ .

Να αποδειχτεί ότι $\kappa = \lambda = 0$

Β. Δίνονται τα διανύσματα $\vec \alpha ,\vec \beta$ για τα οποία ισχύουν:

$\left( {\vec \beta + 2\vec \alpha } \right) \bot \left( {\vec \alpha - \vec \beta } \right),\,\,\,\vec \alpha \ne \vec \beta$ και $2\vec \alpha + \vec \beta \ne \vec 0$
1. Να αποδειχτεί ότι $\vec \alpha ,\vec \beta$ μη συγγραμμικά
2. Αν για το διάνυσμα $\vec \gamma$ ισχύει $\left( {\vec \gamma - \vec \beta } \right)\,|\,|\,\vec \alpha \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vec \gamma \,|\,|\,\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right)$

να αποδειχτεί ότι $\vec \gamma = \vec \beta + \frac{1}{2}\vec \alpha$
3. Δίνεται ότι $\left| {\vec \alpha } \right| = \sqrt 2$ . Να υπολογιστεί το μέτρο του $\vec \gamma = \vec \beta + \frac{1}{2}\vec \alpha$

18. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα 21 Δεκέμβριος 2015

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα $\alpha \limits^ \to = \left( {\alpha \,,\,2\beta + 1} \right),\,\,\, \beta \limits^ \to = \left( {4\beta - \alpha \,,\,1 - 2\beta } \right),\,\,\,\alpha ,\beta \in R$ .

Αν $\alpha \limits^ \to \bot \beta \limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha > 2\beta$

Α. Να αποδειχτεί ότι

1. $\alpha - 2\beta = 1$ .

2. $\alpha \limits^ \to = \left( {\alpha \,,\,\alpha } \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \beta \limits^ \to = \left( {\alpha - 2\,,\,2 - \alpha } \right)$

Β. Αν επιπλέον ισχύει $\left( { \alpha \limits^ \to \, ,\limits^{^{ \,\limits^ \wedge }} \, \alpha \limits^ \to \, - \beta \limits^ \to } \right) = {45^o}$ να αποδειχτεί ότι $\alpha = 1$ .

17. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα 11 Νοέμβριος 2015

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα $u\limits^ \to = \left( {4\beta + \gamma - \alpha \,\,,\,\,\alpha \gamma + 4{\beta ^2}} \right)$

και $v\limits^ \to = \left( {\alpha - 2\beta ,0} \right),\,\,\,\alpha ,\beta ,\gamma \in R$ .

Αν $u\limits^ \to ||y'y$

Α. Να αποδειχτεί ότι $\left( {\widehat {{\rm O}x, u\limits^ \to }} \right) = {90^o}$ .
Β. Δίνεται ότι $\left| { u\limits^ \to } \right| = \left| { v\limits^ \to } \right|\,$ και $\left( {\widehat {{\rm O}x,\, v\limits^ \to }} \right) = {0^o}$

1. Να βρεθούν τα διανύσματα $u\limits^ \to ,\,\,\, v\limits^ \to$ .

2. Αν επιπλέον $\left( {\alpha \, u\limits^ \to + v\limits^ \to } \right)||\left( { u\limits^ \to + \gamma \, v\limits^ \to } \right)$ να υπολογιστούν οι αριθμοί $\alpha ,\beta ,\gamma$

16. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα 11 Ιούνιος 2015

Δίνονται τα διανύσματα $alpha limits^ to = left( {x,y} right),,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to = left( {x - y,x + y} right),,,,x,y in R$ .

Αν ισχύει

Α. Να δειχτεί ότι $left| { alpha limits^ to } right| = left| { alpha limits^ to - beta limits^ to } right|$ .

Β. Να υπολογιστούν οι γωνίες $left( { alpha limits^ to ,,,,, beta limits^ to } right)$ και $,left( { alpha limits^ to ,,,,,,, alpha limits^ to - beta limits^ to } right)$ .

Γ. Αν η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον ημιάξονα Οx είναι 135^ο να υπολογιστούν

οι συντεταγμένες των διανυσμάτων

15. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα 11 Ιούνιος 2015

Δίνονται τα διανύσματα

$alpha limits^ to = left( {kappa - lambda ,,,lambda - kappa + 1} right),$ και $beta limits^ to = left( {2kappa + lambda ,,,lambda + 2} right),,,,kappa ,lambda in R$ .

Αν $left| { alpha limits^ to } right| = 1$

Α. Να αποδείξετε ότι $alpha limits^ to = left( {0,1} right),$ ή $, alpha limits^ to = left( {1,0} right)$ .

Β. Αν επιπλέον να βρεθεί το διάνυσμα .

14. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα 11 Ιούνιος 2015

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα για τα οποία ισχύει ότι $left| { alpha limits^ to - 2 beta limits^ to } right| = left| { alpha limits^ to } right| - 2left| { beta limits^ to } right|$

Α. Να αποδειχτεί ότι .

Β. Αν να αποδειχτεί ότι .

Γ. Να αποδειχτεί ότι $left| { alpha limits^ to + 2 beta limits^ to } right| = left| { alpha limits^ to } right| + 2left| { beta limits^ to } right|$ .

Δ. Αν οι αριθμοί $left| { alpha limits^ to - 2 beta limits^ to } right|,,,kappa alpha iota ,,,left| { alpha limits^ to + 2 beta limits^ to } right|$ είναι λύσεις της εξίσωσης ${x^2} - left( {left| { alpha limits^ to } right| + 1} right)x + 12{ beta limits^ to ^2} = 0$

να υπολογιστούν : $left| { alpha limits^ to } right|,,,,left| { beta limits^ to } right|$ .

13. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα

Διανύσματα 09 Οκτώβριος 2014

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Μ ώστε

$2 {Gamma Delta }limits^ to = {Gamma {rm A}}limits^ to + {Gamma {rm B}}limits^ to$

$3 {{rm E}Gamma }limits^ to = {{rm A}{rm E}}limits^ to$

$2 {{rm B}{rm M}}limits^ to = 3 {{rm B}Gamma }limits^ to$

Α. Να εκφραστούν τα διανύσματα ${{rm A}Delta }limits^ to ,,,, {{rm A}{rm E}}limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, {{rm A}{rm M}}limits^ to$ ως προς ${{rm A}{rm B},}limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, {{rm A}Gamma }limits^ to$

Β. Να εκφραστούν τα διανύσματα ${Delta {rm E}}limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, {Delta {rm M}}limits^ to$ ως προς ${{rm A}{rm B},}limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, {{rm A}Gamma }limits^ to$

Γ. Να αποδειχτεί ότι το σημείο Ε είναι το μέσο του ΔΜ.

12. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα