19. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα 06 Ιανουάριος 2017

Α. Για τα μη συγγραμμικά διανύσματα $\vec \alpha ,\vec \beta$ ισχύει $\kappa \vec \alpha + \lambda \vec \beta = \vec 0$ .

Να αποδειχτεί ότι $\kappa = \lambda = 0$

Β. Δίνονται τα διανύσματα $\vec \alpha ,\vec \beta$ για τα οποία ισχύουν:

$\left( {\vec \beta + 2\vec \alpha } \right) \bot \left( {\vec \alpha - \vec \beta } \right),\,\,\,\vec \alpha \ne \vec \beta$ και $2\vec \alpha + \vec \beta \ne \vec 0$
1. Να αποδειχτεί ότι $\vec \alpha ,\vec \beta$ μη συγγραμμικά
2. Αν για το διάνυσμα $\vec \gamma$ ισχύει $\left( {\vec \gamma - \vec \beta } \right)\,|\,|\,\vec \alpha \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vec \gamma \,|\,|\,\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right)$

να αποδειχτεί ότι $\vec \gamma = \vec \beta + \frac{1}{2}\vec \alpha$
3. Δίνεται ότι $\left| {\vec \alpha } \right| = \sqrt 2$ . Να υπολογιστεί το μέτρο του $\vec \gamma = \vec \beta + \frac{1}{2}\vec \alpha$