3. B΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to  ,,,, beta limits^ to     και τα   kappa limits^ to   =  alpha limits^ to   - 4 beta limits^ to  ,,,, lambda limits^ to   = 2 alpha limits^ to   - 2 beta limits^ to     ώστε  left| { kappa limits^ to  } right| = left| { lambda limits^ to  } right|.

Α.   Να δειχτεί ότι  left| { alpha limits^ to  } right| = 2left| { beta limits^ to  } right|

Β.   Να δειχτεί ότι    kappa limits^ to   cdot  lambda limits^ to   = 4{ beta limits^ to  ^2}left( {4 - 5sigma upsilon nu left( {widehat { alpha limits^ to  , beta limits^ to  }} right)} right)

Γ.   Να αποδειχτεί η ισοδυναμία:   left( {widehat { alpha limits^ to  , beta limits^ to  }} right) = frac{pi }{3} Leftrightarrow left( {widehat { kappa limits^ to  , lambda limits^ to  }} right) = frac{pi }{3} .

2. B΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to  ,,,, beta limits^ to    

και τα   ulimits^ to   = 2 alpha limits^ to   - 3 beta limits^ to  ,,,, vlimits^ to   = 3 alpha limits^ to   - 2 beta limits^ to    ώστε   left| { ulimits^ to  } right| = left| { vlimits^ to  } right|.

A.   Να δειχτεί ότι  left| { alpha limits^ to  } right| = left| { beta limits^ to  } right|

B.   Να δειχτεί ότι   ulimits^ to   cdot  vlimits^ to   = { alpha limits^ to  ^2}left( {12 - 13sigma upsilon nu left( {widehat { alpha limits^ to  , beta limits^ to  }} right)} right)

Γ.   Να αποδειχτεί η ισοδυναμία:  sigma upsilon nu left( {widehat { alpha limits^ to  , beta limits^ to  }} right) = frac{2}{3}  Leftrightarrow  sigma upsilon nu left( {widehat { ulimits^ to  , vlimits^ to  }} right) = frac{2}{3} 

1. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Συντεταγμένες διανύσματος

Να βρεθεί - αν υπάρχει - διάνυσμα     alpha limits^ to   = left( {{beta ^2} - {gamma ^2},,,,,4{beta ^2} - {gamma ^2} + 2gamma } right),,,,beta ,gamma  in R    

για το οποίο δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης και έχει left| { alpha limits^ to  } right| = 1.