7. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Κύκλος

Δίνονται τα διανύσματα   alpha limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to   που σχηματίζουν γωνία  varphi   και η εξίσωση

C:{x^2} + {y^2} + 2x,sigma upsilon nu varphi - 4y,eta mu varphi + 3eta {mu ^2}varphi + sigma upsilon nu varphi = 0

Α.   Αν η εξίσωση C παριστάνει σημείο να αποδειχτεί ότι   alpha limits^ to uparrow uparrow beta limits^ to

Β.   Αν τα διανύσματα   alpha limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to    δεν είναι ομόρροπα

   1.   Να δειχτεί ότι  η εξίσωση C παριστάνει κύκλο

   2.   Να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ του κύκλου

   3.   Αν επιπλέον η ευθεία varepsilon : - xsigma upsilon nu varphi + yeta mu varphi + sqrt 2 - 1 = 0

        εφάπτεται του κύκλου  C  να αποδειχτεί ότι

      α.   eta {mu ^2}varphi = sqrt {1 - sigma upsilon nu varphi } - sqrt 2

      β.    alpha limits^ to uparrow downarrow beta limits^ to

 

6. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Κύκλος

Δίνονται οι κύκλοι   C:{x^2} + {y^2} + mu x - mu y + 2mu - 2 = 0,,,,mu in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι  mu in left( { - infty ,2} right) cup left( {2, + infty } right)

Β.   Να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ για κάθε  mu in left( { - infty ,2} right) cup left( {2, + infty } right)

Γ.   Να αποδειχτεί ότι οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από σταθερό σημείο.

Δ.   Να βρεθεί ο κύκλος του οποίου το κέντρο Κ σχηματίζει με το  {rm A}left( {0,1} right)

      και την αρχή των αξόνων Ο ορθογώνιο τρίγωνο στο Κ.

 

1. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Κύκλος

Δίν εται ότι η εξίσωση  {x^2} + {y^2} + 2left( {alpha + 1} right)x + left( {2beta - 1} right)y + frac{1}{4} = 0,,,,alpha ,beta in R  παριστάνει σημείο Ν. Αν  {rm M}left( {alpha ,beta } right)

Α.  Να δειχτεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι κύκλος.

Β.   Να δειχτεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ν είναι κύκλος.

Γ.   Να βρεθεί η κοινή κατακόρυφη εφαπτομένη των παραπάνω κύκλων.

Δ.   Αν  Lambda left( { - frac{1}{2},frac{1}{4}} right)

       1.  Να αποδειχτεί ότι   (ΜΝ)=2(ΜΛ)

       2.  Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της απόστασης  (ΜΝ).

5. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Κύκλος

Δίνεται ο κύκλος   C:lambda {x^2} + lambda {y^2} - 2lambda x + 2y - 2 = 0.

Α.   Να αποδειχτεί ότι  lambda in {R^*} - left{ { - 1} right}  και να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του.

Β.   Να αποδειχτεί ότι για κάθε lambda in {R^*} - left{ { - 1} right} ο κύκλος C διέρχεται από σταθερό σημείο το οποίο

       και να βρεθεί.

Γ.   Να αποδειχτεί ότι οι κύκλοι C  έχουν κοινή εφαπτομένη.

4. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Κύκλος

Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση    c:{x^2} + {y^2} - left( {2alpha + 1} right)x - 2alpha y + {alpha ^2} - 3alpha - frac{{15}}{4} = 0

Α.   Να αποδειχτεί ότι   alpha in A = left( { - infty , - 2} right) cup left( { - 2, + infty } right)

Β.   Να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου c για κάθε  alpha in A

Γ.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει κοινή κατακόρυφη εφαπτομένη και κοινή οριζόντια  

      εφαπτομένη όλων των κύκλων  c.

3. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Κύκλος

Δίνεται το σημείο {rm M}left( {alpha ,beta } right)  που ανήκει στον κύκλο  C:{x^2} + {y^2} - 4x - 21 = 0   και το σημείο  {rm N}left( {alpha + beta ,beta - alpha } right).

Α.  Να αποδειχτεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ν είναι κύκλος.

Β.  Να αποδειχτεί ότι {rm M}{rm N} bot {rm O}{rm M},  όπου Ο η αρχή των αξόνων.

Γ.  Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση {rm M}{rm N}.

Δ.  Να βρεθεί η θέση του σημείου Μ όταν η ευθεία {rm M}{rm N} εφάπτεται στον κύκλο .

2. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Κύκλος

Δίνεται η εξίσωση  Z:{x^2} + {y^2} + alpha x + 2beta y - alpha beta = 0,,,,beta ne 0  και η ευθεία varepsilon :alpha x - 2beta y = 0  η οποία σχηματίζει με τον άξονα x'x  γωνία  omega ne frac{{3pi }}{4}. Να αποδειχτεί ότι:

Α.   Η εξίσωση Z  παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ.

Β.   Η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο Z  αν και μόνο αν  alpha = 0.

Γ.   Για β σταθερό οι κύκλοι Z  έχουν μοναδικό κοινό σημείο {rm A} και για α σταθερό οι κύκλοι Z  έχουν μοναδικό κοινό σημείο {rm B}.

Δ.   Για κάθε α,β ισχύει:  left( {{rm A}{rm B}} right) = rho sqrt 2