3. B΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to  ,,,, beta limits^ to     και τα   kappa limits^ to   =  alpha limits^ to   - 4 beta limits^ to  ,,,, lambda limits^ to   = 2 alpha limits^ to   - 2 beta limits^ to     ώστε  left| { kappa limits^ to  } right| = left| { lambda limits^ to  } right|.

Α.   Να δειχτεί ότι  left| { alpha limits^ to  } right| = 2left| { beta limits^ to  } right|

Β.   Να δειχτεί ότι    kappa limits^ to   cdot  lambda limits^ to   = 4{ beta limits^ to  ^2}left( {4 - 5sigma upsilon nu left( {widehat { alpha limits^ to  , beta limits^ to  }} right)} right)

Γ.   Να αποδειχτεί η ισοδυναμία:   left( {widehat { alpha limits^ to  , beta limits^ to  }} right) = frac{pi }{3} Leftrightarrow left( {widehat { kappa limits^ to  , lambda limits^ to  }} right) = frac{pi }{3} .

2. B΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to  ,,,, beta limits^ to    

και τα   ulimits^ to   = 2 alpha limits^ to   - 3 beta limits^ to  ,,,, vlimits^ to   = 3 alpha limits^ to   - 2 beta limits^ to    ώστε   left| { ulimits^ to  } right| = left| { vlimits^ to  } right|.

A.   Να δειχτεί ότι  left| { alpha limits^ to  } right| = left| { beta limits^ to  } right|

B.   Να δειχτεί ότι   ulimits^ to   cdot  vlimits^ to   = { alpha limits^ to  ^2}left( {12 - 13sigma upsilon nu left( {widehat { alpha limits^ to  , beta limits^ to  }} right)} right)

Γ.   Να αποδειχτεί η ισοδυναμία:  sigma upsilon nu left( {widehat { alpha limits^ to  , beta limits^ to  }} right) = frac{2}{3}  Leftrightarrow  sigma upsilon nu left( {widehat { ulimits^ to  , vlimits^ to  }} right) = frac{2}{3} 

1. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Συντεταγμένες διανύσματος

Να βρεθεί - αν υπάρχει - διάνυσμα     alpha limits^ to   = left( {{beta ^2} - {gamma ^2},,,,,4{beta ^2} - {gamma ^2} + 2gamma } right),,,,beta ,gamma  in R    

για το οποίο δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης και έχει left| { alpha limits^ to  } right| = 1. 




5. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ευθεία

Δίνεται η εξίσωση  \varepsilon :\left( {\beta  + 1} \right)x - {\beta ^2}y + \beta  + 1 = 0,\,\,\,\beta  \in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι παριστάνει ευθεία για κάθε \beta  \in R .

Β.   Να αποδειχτεί ότι για κάθε  \beta  \in R  οι ευθείες αυτές διέρχονται από σταθερό σημείο.

Γ.   Να υπολογιστεί ο  \beta  \in R  αν η ευθεία ε απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση  \frac{1}{{\sqrt 5 }}

Δ.   Να υπολογιστεί ο \beta  \in R  αν η ευθεία ε είναι παράλληλη στην ευθεία  \zeta :3x - 4y + 1 = 0

Ε.   Έστω οι τιμές {\beta _1},{\beta _2}   για τις οποίες οι αντίστοιχες ευθείες {\varepsilon _1},{\varepsilon _2}  είναι παράλληλες σε δοσμένη ευθεία \eta .

      Να αποδειχτεί ότι {\varepsilon _1} \equiv {\varepsilon _2} .

 

4. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ευθεία

Δίνεται η ευθεία   varepsilon :{left( {alpha  - beta } right)^2}x + left( {alpha  - beta } right)y + beta  - alpha  = 0 

Α.   Να αποδειχτεί ότι η ε έχει συντελεστή διεύθυνσης για κάθε δυνατή τιμή των

       πραγματικών α, β

Β.   Να αποδειχτεί ότι η ε διέρχεται από σταθερό σημείο, για κάθε δυνατή τιμή των

       πραγματικών α, β

Γ.   Να αποδειχτεί ότι η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ε είναι  d = frac{1}{{sqrt {{{left( {alpha  - beta } right)}^2} + 1} }}    

Δ.   Να βρεθεί η εξίσωση της ε αν απέχει από την αρχή των αξόνων  frac{1}{{sqrt 2 }}

 

3. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ευθεία

Δίνεται η ευθεία   varepsilon :left( {{mu ^2} - mu } right)x + left( {{mu ^2} + 3mu  - 4} right)y - 4mu  + 4 = 0,,,,mu  in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι  mu  in R - left{ 1 right} .

Β.   Να δειχτεί ότι η ευθεία  varepsilon  διέρχεται από σταθερό σημείο Κ για κάθε  mu  ne 1.

Γ.   Να αποδειχτεί ότι  dleft( {{rm O},varepsilon } right) = frac{4}{{sqrt {{mu ^2} + {{left( {mu  + 4} right)}^2}} }} , όπου Ο η αρχή των αξόνων.

Δ.   Να αποδειχτεί ότι για κάθε  mu  ne 1:,,,dleft( {{rm O},varepsilon } right) le ({rm O}{rm K}) .

2. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ευθεία

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα  vec alpha ,vec beta   με vec alpha  bot vec beta  και η ευθεία

varepsilon :left( {sigma upsilon nu left( {vec alpha ,,,vec alpha  + vec beta } right)} right) cdot x - left( {sigma upsilon nu left( {vec alpha ,,,vec alpha  - vec beta } right)} right) cdot y + frac{{left| {vec beta } right|}}{{left| {vec alpha } right|}} = 0

Α.   Να δειχτεί ότι:  sigma upsilon nu left( {vec alpha ,,,,vec alpha  + vec beta } right) = frac{{left| {vec alpha } right|}}{{left| {vec alpha  + vec beta } right|}}

Β.   Να δειχτεί ότι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον x'x  είναι  45o.

Γ.   Να βρεθούν τα σημεία τομής Α, Β της ευθείας ε με τους άξονες x'x και y'y αντίστοιχα.

Δ.   Να δειχτεί ότι το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ (Ο η αρχή των αξόνων) ισούται με

      {rm E} = frac{1}{2},,frac{{{{left| {vec beta } right|}^2}}}{{{{left| {vec alpha } right|}^2}}},left( {1 + frac{{{{left| {vec beta } right|}^2}}}{{{{left| {vec alpha } right|}^2}}}} right).

Ε.   Αν  E=1  να αποδειχτεί ότι  left| {vec alpha } right| = left| {vec beta } right|

1. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ευθεία

Δίνεται η εξίσωση  {y^2} - 2alpha xy = {x^2}.

A. Να δειχτεί ότι παριστάνει δύο κάθετες ευθείες για κάθε  alpha  in mathbb{R}.

Β. Αν  Α, Β τα σημεία τομής της ευθείας  varepsilon :x = 1 με τις παραπἀνω ευθείες

      1. Να υπολογιστεί ο  alpha   αν  left( {{rm A}{rm B}} right) = 2

      2. Να υπολογιστεί ο  alpha   αν το τρίγωνο  ΟΑΒ έχει εμβαδό  1 τ.μ. ( Ο η αρχή των αξόνων )

7. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Δίνονται τα διανύσματα   alpha limits^ to  ,,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to    που σχηματίζουν γωνία  varphi   και η εξίσωση

C:{x^2} + {y^2} + 2x,sigma upsilon nu varphi  - 4y,eta mu varphi  + 3eta {mu ^2}varphi  + sigma upsilon nu varphi  = 0

Α.   Αν η εξίσωση C παριστάνει σημείο να αποδειχτεί ότι   alpha limits^ to   uparrow  uparrow  beta limits^ to

Β.   Αν τα διανύσματα   alpha limits^ to  ,,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to     δεν είναι ομόρροπα

   1.   Να δειχτεί ότι  η εξίσωση C παριστάνει κύκλο

   2.   Να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ του κύκλου

   3.   Αν επιπλέον η ευθεία varepsilon : - xsigma upsilon nu varphi  + yeta mu varphi  + sqrt 2  - 1 = 0

        εφάπτεται του κύκλου  C  να αποδειχτεί ότι

      α.   eta {mu ^2}varphi  = sqrt {1 - sigma upsilon nu varphi }  - sqrt 2

      β.    alpha limits^ to   uparrow  downarrow  beta limits^ to