eMath:a - Κατεύθυνση

3. B΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα 18 Σεπτέμβριος 2013

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα και τα ώστε $left| { kappa limits^ to } right| = left| { lambda limits^ to } right|$ .

Α. Να δειχτεί ότι $left| { alpha limits^ to } right| = 2left| { beta limits^ to } right|$

Β. Να δειχτεί ότι $kappa limits^ to cdot lambda limits^ to = 4{ beta limits^ to ^2}left( {4 - 5sigma upsilon nu left( {widehat { alpha limits^ to , beta limits^ to }} right)} right)$

Γ. Να αποδειχτεί η ισοδυναμία: $left( {widehat { alpha limits^ to , beta limits^ to }} right) = frac{pi }{3} Leftrightarrow left( {widehat { kappa limits^ to , lambda limits^ to }} right) = frac{pi }{3}$ .

2. B΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα 18 Σεπτέμβριος 2013

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα

και τα ώστε $left| { ulimits^ to } right| = left| { vlimits^ to } right|$ .

A. Να δειχτεί ότι $left| { alpha limits^ to } right| = left| { beta limits^ to } right|$

B. Να δειχτεί ότι $ulimits^ to cdot vlimits^ to = { alpha limits^ to ^2}left( {12 - 13sigma upsilon nu left( {widehat { alpha limits^ to , beta limits^ to }} right)} right)$

Γ. Να αποδειχτεί η ισοδυναμία: $sigma upsilon nu left( {widehat { alpha limits^ to , beta limits^ to }} right) = frac{2}{3}$ $sigma upsilon nu left( {widehat { ulimits^ to , vlimits^ to }} right) = frac{2}{3}$

1. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα 18 Σεπτέμβριος 2013

Να βρεθεί - αν υπάρχει - διάνυσμα $alpha limits^ to = left( {{beta ^2} - {gamma ^2},,,,,4{beta ^2} - {gamma ^2} + 2gamma } right),,,,beta ,gamma in R$

για το οποίο δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης και έχει $left| { alpha limits^ to } right| = 1$ .

5. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ευθεία

Ευθεία 28 Ιούνιος 2021

Δίνεται η εξίσωση $\varepsilon :\left( {\beta + 1} \right)x - {\beta ^2}y + \beta + 1 = 0,\,\,\,\beta \in R$

Α. Να αποδειχτεί ότι παριστάνει ευθεία για κάθε $\beta \in R$ .

Β. Να αποδειχτεί ότι για κάθε $\beta \in R$ οι ευθείες αυτές διέρχονται από σταθερό σημείο.

Γ. Να υπολογιστεί ο $\beta \in R$ αν η ευθεία ε απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$

Δ. Να υπολογιστεί ο $\beta \in R$ αν η ευθεία ε είναι παράλληλη στην ευθεία $\zeta :3x - 4y + 1 = 0$

Ε. Έστω οι τιμές ${\beta _1},{\beta _2}$ για τις οποίες οι αντίστοιχες ευθείες ${\varepsilon _1},{\varepsilon _2}$ είναι παράλληλες σε δοσμένη ευθεία $\eta$ .

Να αποδειχτεί ότι ${\varepsilon _1} \equiv {\varepsilon _2}$ .

4. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ευθεία

Ευθεία 05 Μάρτιος 2015

Δίνεται η ευθεία $varepsilon :{left( {alpha - beta } right)^2}x + left( {alpha - beta } right)y + beta - alpha = 0$

Α. Να αποδειχτεί ότι η ε έχει συντελεστή διεύθυνσης για κάθε δυνατή τιμή των

πραγματικών α, β

Β. Να αποδειχτεί ότι η ε διέρχεται από σταθερό σημείο, για κάθε δυνατή τιμή των

πραγματικών α, β

Γ. Να αποδειχτεί ότι η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ε είναι $d = frac{1}{{sqrt {{{left( {alpha - beta } right)}^2} + 1} }}$

Δ. Να βρεθεί η εξίσωση της ε αν απέχει από την αρχή των αξόνων $frac{1}{{sqrt 2 }}$

3. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ευθεία

Ευθεία 05 Ιούνιος 2014

Δίνεται η ευθεία $varepsilon :left( {{mu ^2} - mu } right)x + left( {{mu ^2} + 3mu - 4} right)y - 4mu + 4 = 0,,,,mu in R$

Α. Να αποδειχτεί ότι .

Β. Να δειχτεί ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο Κ για κάθε .

Γ. Να αποδειχτεί ότι $dleft( {{rm O},varepsilon } right) = frac{4}{{sqrt {{mu ^2} + {{left( {mu + 4} right)}^2}} }}$ , όπου Ο η αρχή των αξόνων.

Δ. Να αποδειχτεί ότι για κάθε .

2. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ευθεία

Ευθεία 04 Φεβρουάριος 2014

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα με και η ευθεία

$left( {sigma upsilon nu left( {vec alpha ,,,vec alpha - vec beta } right)} right) cdot y + frac{{left| {vec beta } right|}}{{left| {vec alpha } right|}} = 0$

Α. Να δειχτεί ότι: $sigma upsilon nu left( {vec alpha ,,,,vec alpha + vec beta } right) = frac{{left| {vec alpha } right|}}{{left| {vec alpha + vec beta } right|}}$

Β. Να δειχτεί ότι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον x'x είναι 45^o.

Γ. Να βρεθούν τα σημεία τομής Α, Β της ευθείας ε με τους άξονες x'x και y'y αντίστοιχα.

Δ. Να δειχτεί ότι το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ (Ο η αρχή των αξόνων) ισούται με

${rm E} = frac{1}{2},,frac{{{{left| {vec beta } right|}^2}}}{{{{left| {vec alpha } right|}^2}}},$ $left( {1 + frac{{{{left| {vec beta } right|}^2}}}{{{{left| {vec alpha } right|}^2}}}} right)$ .