12. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα

Δίνεται τα διαφορετικά ανά δύο σημεία Α, Β και Μ και ο πραγματικός αριθμός  lambda  in left( {0,1} right).

Αν ισχύει η σχέση   left( {2lambda  - 1} right) {{rm O}{rm M}}limits^ to   = lambda  {{rm O}{rm A}}limits^ to   + left( {lambda  - 1} right) {{rm O}{rm B}}limits^ to     να αποδειχτεί ότι: 

Α.   lambda  ne frac{1}{2} 

Β.    {{rm M}{rm A}}limits^ to  ,//,, {{rm M}{rm B}}limits^ to   

Γ.   Το σημείο Μ είναι εξωτερικό του τμήματος ΑΒ.

11. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to  , beta limits^ to    για τα οποία ισχύει ότι:  left| { beta limits^ to   -  alpha limits^ to  } right| le left| { alpha limits^ to  } right|

Α.   Να αποδειχτεί ότι  left| { alpha limits^ to   - 2 beta limits^ to  } right| le left| { alpha limits^ to   +  beta limits^ to  } right|

Β.   Αν επιπλέον  ισχύει:  left| { alpha limits^ to  } right| + frac{{left| { beta limits^ to  } right|}}{2} = left| { beta limits^ to  } right|sigma upsilon nu phi  , όπου  phi  = left( { { alpha limits^ to  , beta limits^ to  }limits^ wedge  } right) να αποδειχτούν

   1.   sigma upsilon nu phi  > frac{1}{2}

   2.   sigma upsilon nu phi  = 1

   3.    beta limits^ to   = 2 alpha limits^ to

10. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Συντεταγμένες διανύσματος

Δίνονται τα διανύσματα   alpha limits^ to   = left( {alpha  - 1,,,1 - alpha } right),,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to   = left( {alpha  + 2,,,beta } right).

Αν   alpha limits^ to   ne  0limits^ to  ,,,,, alpha limits^ to  // beta limits^ to  ,,,kappa alpha iota ,,,left| { beta limits^ to  } right| = 2sqrt 2

Α.   Να δειχτεί ότι  beta  + alpha  + 2 = 0.

Β.   Να βρεθούν τα διανύσματα   alpha limits^ to  ,,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to

9. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Συντεταγμένες διανύσματος

Δίνονται τα σημεία  {rm A}left( {{alpha ^2} - alpha ,,,,0} right),,,,,{rm B}left( {4 - alpha ,,,,2alpha  + 4} right),,,,Gamma left( {{alpha ^2} - 2alpha  + 2,,,,2} right)

Α.   Να αποδειχτεί ότι:  Α, Β, Γ είναι συνευθειακά για κάθε  alpha  in R.

Β.   Αν  left| { {{rm A}{rm B}}limits^ to  } right| = 2left| {alpha  + 2} right|,,,,alpha  ne  - 2

   1.   Να δειχτεί ότι  alpha  = 2.

   2.   Να υπολογιστεί η γωνία  left( {{rm O}x, {{rm B}Gamma }limits^ to  } right).

8. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to  , beta limits^ to    για τα οποία ισχύει   { alpha limits^ to  ^2} = left| { alpha limits^ to  } right|left| { beta limits^ to  } right| + 2{ beta limits^ to  ^2}

Α.   Να δειχτεί ότι  left| { alpha limits^ to  } right| = 2left| { beta limits^ to  } right|

Β.   Αν επιπλέον ισχύει  left( { alpha limits^ to   -  beta limits^ to  } right)left( { alpha limits^ to   - 2 beta limits^ to  } right) = left( { alpha limits^ to   -  beta limits^ to  } right)left( { alpha limits^ to   +  beta limits^ to  } right)  να δειχτεί ότι

   1.    beta limits^ to   bot left( { alpha limits^ to   -  beta limits^ to  } right)

   2.   left( { {, alpha limits^ to  ,, beta limits^ to  }limits^^ } right) = {60^ circ }

7. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Συντεταγμένες διανύσματος

Δίνονται τα διανύσματα    {{rm O}{rm A}}limits^ to   = left( {2alpha  + frac{1}{alpha } - 1,,,,,,,,,2alpha  + frac{1}{alpha } - 1} right)   και   {{rm O}{rm B}}limits^ to   = left( {alpha  - 3,,,0} right),,,,alpha  in {R^ * },

 όπου Ο η αρχή των αξόνων. Αν το τρίγωνο  ΟΑΒ  είναι ορθογώνιο στο Β, να υπολογιστεί ο α.

6. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to  ,,,, beta limits^ to    ώστε :  { alpha limits^ to  ^2} - 4 alpha limits^ to   cdot  beta limits^ to   + 3{ beta limits^ to  ^2} = 0,,,kappa alpha iota ,,, alpha limits^ to   cdot  beta limits^ to   > 0.

Α.   Να δειχτεί ότι:  left| { alpha limits^ to   - 2 beta limits^ to  } right| = left| { beta limits^ to  } right|.

Β.   Να δειχτεί ότι:  left( { { alpha limits^ to  , beta limits^ to  }limits^^ } right) in left[ {0,frac{pi }{6}} right].

Γ.   Αν  left( { { alpha limits^ to  , beta limits^ to  }limits^^ } right) = frac{pi }{6}  να δειχτεί ότι:  left| { alpha limits^ to  } right| = sqrt 3 left| { beta limits^ to  } right|.    

5. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Α.   Αν η συνάρτηση  fleft( x right) = sqrt {{x^2} - 2sqrt {{{ alpha limits^ to  }^2}{{ beta limits^ to  }^2}} x + {{left( { alpha limits^ to   cdot  beta limits^ to  } right)}^2}}    έχει πεδίο ορισμού το R  να δειχτεί ότι   alpha limits^ to  // beta limits^ to  .

 

 

Β.   Αν η συνάρτηση  fleft( x right) = sqrt {{x^2} - 2left| { alpha limits^ to  } right|x + 2 alpha limits^ to   cdot  beta limits^ to   - {{ beta limits^ to  }^2}}    έχει πεδίο ορισμού το R να δειχτεί ότι  alpha limits^ to   =  beta limits^ to  .

4. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Δίνεται το διάνυσμα   alpha limits^ to  ,,,mu varepsilon ,,,left| { alpha limits^ to  } right| = 1  και το   beta limits^ to     ώστε να ισχύει:  2left| { alpha limits^ to   +  beta limits^ to  } right| = sqrt {4 alpha limits^ to   cdot  beta limits^ to   + 3}

Α.   Να δειχτεί ότι:    alpha limits^ to   uparrow  downarrow  beta limits^ to

Β.    beta limits^ to   =  - frac{1}{2} alpha limits^ to