eMath:a - Κατεύθυνση

12. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα

Διανύσματα 09 Οκτώβριος 2014

Δίνεται τα διαφορετικά ανά δύο σημεία Α, Β και Μ και ο πραγματικός αριθμός .

Αν ισχύει η σχέση $left( {2lambda - 1} right) {{rm O}{rm M}}limits^ to = lambda {{rm O}{rm A}}limits^ to + left( {lambda - 1} right) {{rm O}{rm B}}limits^ to$ να αποδειχτεί ότι:

Α. $lambda ne frac{1}{2}$

Β. ${{rm M}{rm A}}limits^ to ,//,, {{rm M}{rm B}}limits^ to$

Γ. Το σημείο Μ είναι εξωτερικό του τμήματος ΑΒ.

11. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα 05 Ιούνιος 2014

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα για τα οποία ισχύει ότι: $left| { beta limits^ to - alpha limits^ to } right| le left| { alpha limits^ to } right|$

Α. Να αποδειχτεί ότι $left| { alpha limits^ to - 2 beta limits^ to } right| le left| { alpha limits^ to + beta limits^ to } right|$

Β. Αν επιπλέον ισχύει: $left| { alpha limits^ to } right| + frac{{left| { beta limits^ to } right|}}{2} = left| { beta limits^ to } right|sigma upsilon nu phi$ , όπου $phi = left( { { alpha limits^ to , beta limits^ to }limits^ wedge } right)$ να αποδειχτούν

1. $sigma upsilon nu phi > frac{1}{2}$

10. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα 09 Νοέμβριος 2013

Δίνονται τα διανύσματα $alpha limits^ to = left( {alpha - 1,,,1 - alpha } right),,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to = left( {alpha + 2,,,beta } right)$ .

Αν $alpha limits^ to ne 0limits^ to ,,,,, alpha limits^ to // beta limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,,left| { beta limits^ to } right| = 2sqrt 2$

Α. Να δειχτεί ότι .

Β. Να βρεθούν τα διανύσματα .

9. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα 09 Νοέμβριος 2013

Δίνονται τα σημεία ${rm A}left( {{alpha ^2} - alpha ,,,,0} right),,,,,{rm B}left( {4 - alpha ,,,,2alpha + 4} right),,,,Gamma left( {{alpha ^2} - 2alpha + 2,,,,2} right)$

Α. Να αποδειχτεί ότι: Α, Β, Γ είναι συνευθειακά για κάθε .

Β. Αν $left| { {{rm A}{rm B}}limits^ to } right| = 2left| {alpha + 2} right|,,,,alpha ne - 2$

1. Να δειχτεί ότι .

2. Να υπολογιστεί η γωνία $left( {{rm O}x, {{rm B}Gamma }limits^ to } right)$ .

8. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα 06 Νοέμβριος 2013

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα για τα οποία ισχύει ${ alpha limits^ to ^2} = left| { alpha limits^ to } right|left| { beta limits^ to } right| + 2{ beta limits^ to ^2}$

Α. Να δειχτεί ότι $left| { alpha limits^ to } right| = 2left| { beta limits^ to } right|$

Β. Αν επιπλέον ισχύει $left( { alpha limits^ to - beta limits^ to } right)left( { alpha limits^ to - 2 beta limits^ to } right)$ $= left( { alpha limits^ to - beta limits^ to } right)left( { alpha limits^ to + beta limits^ to } right)$ να δειχτεί ότι

1. $beta limits^ to bot left( { alpha limits^ to - beta limits^ to } right)$

2. $left( { {, alpha limits^ to ,, beta limits^ to }limits^^ } right) = {60^ circ }$

7. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα 01 Νοέμβριος 2013

Δίνονται τα διανύσματα ${{rm O}{rm A}}limits^ to = left( {2alpha + frac{1}{alpha } - 1,,,,,,,,,2alpha + frac{1}{alpha } - 1} right)$ και ${{rm O}{rm B}}limits^ to = left( {alpha - 3,,,0} right),,,,alpha in {R^ * }$ ,

όπου Ο η αρχή των αξόνων. Αν το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Β, να υπολογιστεί ο α.

6. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα 18 Σεπτέμβριος 2013

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα ώστε : ${ alpha limits^ to ^2} - 4 alpha limits^ to cdot beta limits^ to + 3{ beta limits^ to ^2} = 0,,,kappa alpha iota ,,, alpha limits^ to cdot beta limits^ to > 0$ .

Α. Να δειχτεί ότι: $left| { alpha limits^ to - 2 beta limits^ to } right| = left| { beta limits^ to } right|$ .

Β. Να δειχτεί ότι: $left( { { alpha limits^ to , beta limits^ to }limits^^ } right) in left[ {0,frac{pi }{6}} right]$ .

Γ. Αν $left( { { alpha limits^ to , beta limits^ to }limits^^ } right) = frac{pi }{6}$ να δειχτεί ότι: $left| { alpha limits^ to } right| = sqrt 3 left| { beta limits^ to } right|$ .

5. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα 18 Σεπτέμβριος 2013

Α. Αν η συνάρτηση $fleft( x right) = sqrt {{x^2} - 2sqrt {{{ alpha limits^ to }^2}{{ beta limits^ to }^2}} x + {{left( { alpha limits^ to cdot beta limits^ to } right)}^2}}$ έχει πεδίο ορισμού το R να δειχτεί ότι .

Β. Αν η συνάρτηση $fleft( x right) = sqrt {{x^2} - 2left| { alpha limits^ to } right|x + 2 alpha limits^ to cdot beta limits^ to - {{ beta limits^ to }^2}}$ έχει πεδίο ορισμού το R να δειχτεί ότι .

4. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα 18 Σεπτέμβριος 2013

Δίνεται το διάνυσμα $alpha limits^ to ,,,mu varepsilon ,,,left| { alpha limits^ to } right| = 1$ και το ώστε να ισχύει: $2left| { alpha limits^ to + beta limits^ to } right| = sqrt {4 alpha limits^ to cdot beta limits^ to + 3}$