Δίνεται το σύστημα  left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{beta x + beta y = 1}{alpha x + beta y = 2}end{array}} right.,,,mu varepsilon ,,,beta  > 0,,,kappa alpha iota ,,,alpha  in R.

Αν ισχύει  {D_x} + {D_y} < 0  τότε:

Α.   Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση η οποία και να βρεθεί.

Β.   Αν   alpha ,,,beta  in mathbb{N}  και ισχύει  {D_x} + {D_y} + 2alpha  = 3

      να δείξετε ότι  {x_0} = 1,,,kappa alpha iota ,,,{y_0} = 0.

Δίνεται το σύστημα  left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{2x - alpha y = 1}{x + beta y = 2}end{array}} right.,,,mu varepsilon ,,,alpha  > 0,,,kappa alpha iota ,,,beta  in R.

Αν ισχύει  D ge {D_x}  τότε:

Α.   Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση η οποία και να βρεθεί.

Β.   Αν   alpha ,,,beta  in mathbb{N}  και για τη μοναδική λύση  left( {{x_0},,,{y_0}} right)  του συστήματος ισχύει  {x_0} = {y_0}

      να δείξετε ότι  {x_0} = {y_0} = 1.

Δίνεται το 2x2 γραμμικό σύστημα (Σ) για τις ορίζουσες του οποίου ισχύουν:

left| {{D_x} + {D_y} + D} right| + left| {{D_x} - {D_y} + 3D} right| = 0  και  {D_x} > {D_y}.  

Α.   Να δείξετε ότι το (Σ) έχει μοναδική λύση. 

Β.   Να βρεθεί η μοναδική λύση του (Σ).

Γ.   Να δείξετε ότι  D < 0. 

Δ.   Να δείξετε ότι   {D_x} > 0,,,,{D_y} < 0,,,kappa alpha iota ,,,{D_x} >  - {D_y}.

 

Δίνεται το σύστημα  

{alpha left( {x - alpha } right) + beta left( {y - beta } right) = {alpha ^2} + {beta ^2}} 
{beta left( {beta  - x} right) + alpha left( {y + alpha } right) = 0}

με αγνώστους  x, y και  α, β∈R

A.   Αν  D  είναι η ορίζουσα του συστήματος να δείξετε ότι ισχύει:  D = 0 Leftrightarrow alpha  = beta  = 0 .

B.   Να δείξετε ότι το σύστημα δεν είναι αδύνατο.

Γ.   Αν ισχύει  left| alpha  right| + left| beta  right| ne 0  να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την  left( {x,y} right) = left( {2alpha  + beta ,,,2beta  - alpha } right) .

Δίνεται το σύστημα  begin{array}{l}left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{{alpha _1}x + {beta _1}y = {gamma _1}}{{alpha _2}x + {beta _2}y = {gamma _2}}end{array}} right.end{array}   με ορίζουσες  D,,,,{D_x},,,,{D_y}.

Αν ισχύουν:  {D_x} < {D_y},,,,,,,{D_x} + {D_y} = 5D,,,,,,kappa alpha iota ,,,,,,{D_x}{D_y} = 6{D^2}

A.   Να αποδειχτεί ότι το σύστημα έχει μία μοναδική λύση.

Β.   Να λυθεί το σύστημα.

Γ.   Έστω η λύση του συστήματος είναι η  left( {3,2} right),  και   {gamma _1} = {gamma _2} = 1  

   1.   Να αποδειχτεί ότι  {alpha _1}{beta _2} < {alpha _2}{beta _1}

   2.   Να αποδειχτεί ότι  {beta _2} < {beta _1}

   3.   Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκουν τα σημεία  left( {{alpha _1},{beta _1}} right),,,,kappa alpha iota ,,,left( {{alpha _2},{beta _2}} right)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τμήμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f με πεδίο ορισμού {\rm A} = R

η οποία δεν τέμνει τον άξονα x'x .

Καταγραφή

A.   Να δικαιολογηθεί γιατί η f δεν μπορεί να είναι περιττή.

B.   Αν η f είναι άρτια τότε:

   1.   Να σχεδιαστεί και η υπόλοιπη γραφική παράσταση της f , να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας καθώς και η μονοτονία της σε καθένα από αυτά.

   2.   Να αποδειχτεί ότι για κάθε x < 0 ισχύει: \frac{{f\left( x \right) - 1}}{x} > 0

   3.   Να λυθεί η ανίσωση  f\left( {\left| x \right|} \right) - f\left( {\left| {1 - x} \right|} \right) > 0

   4.   Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f και να αποδειχτεί ότι για κάθε \alpha ,\beta  \in R υπάρχει {x_o} \in Rώστε f\left( {{x_o}} \right) = f\left( \alpha  \right)f\left( \beta  \right).

Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g\left( x \right) = \sqrt {4 - x}  - \sqrt {x + 4} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να δειχτεί ότι είναι περιττή.

Γ.   Να δειχτεί ότι

   1.   η g είναι γνησίως φθίνουσα και να μελετηθεί το πρόσημό της.

   2.   η g έχει ελάχιστο το  - 2\sqrt 2   και μέγιστο το 2\sqrt 2 .

Δ.   Να δειχτεί ότι για κάθε \alpha ,\beta  \in {{\rm A}_g}  ισχύει  \,g\left( \alpha  \right) + g\left( \beta  \right) \ge  - 4\sqrt 2 .

Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g\left( x \right) = \sqrt {x + 2}  - \sqrt {2 - x} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να δειχτεί ότι είναι περιττή.

Γ.   Να δειχτεί ότι

   1.   η g  είναι γνησίως αύξουσα και να μελετηθεί το πρόσημό της.

   2.   η g  έχει ελάχιστο το -2 και μέγιστο το 2.

   3.   για κάθε  \alpha ,\beta  \in {{\rm A}_g}  ισχύει g\left( \alpha  \right) + g\left( \beta  \right) \le 4

Δίνονται οι συναρτήσεις f,\,\,g  με πεδίο ορισμού το  A = \left[ {1, + \infty } \right). Αν ισχύουν:

           g\left( A \right) = \left[ {\sqrt 2 , + \infty } \right)

           g  γνησίως αύξουσα

   και   f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) =  - 2 , για κάθε  x \in \left[ {1, + \infty } \right) τότε:

Α.   Να δείξετε ότι f\left( x \right) < 0 για κάθε x \in \left[ {1, + \infty } \right) .

Β.   Να δείξετε ότι η f  είναι γνησίως αύξουσα.

Γ.   Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f .

Δ.   Αν  g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {x + 1}   για κάθε x \in \left[ {1, + \infty } \right)  τότε να δείξετε ότι:

   1.   f\left( x \right) = \sqrt {x - 1}  - \sqrt {x + 1}   για κάθε x \in \left[ {1, + \infty } \right) .

   2.   Η συνάρτηση  \varphi \left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}},\,\,\,x \in \left[ {1, + \infty } \right),  έχει ελάχιστη τιμή το -1 .