5. B΄ Λυκείου/ Γενικής / Συστήματα

Συστήματα

Δίνεται το σύστημα  left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{beta x + beta y = 1}{alpha x + beta y = 2}end{array}} right.,,,mu varepsilon ,,,beta > 0,,,kappa alpha iota ,,,alpha in R.

Αν ισχύει  {D_x} + {D_y} < 0  τότε:

Α.   Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση η οποία και να βρεθεί.

Β.   Αν   alpha ,,,beta in mathbb{N}  και ισχύει  {D_x} + {D_y} + 2alpha = 3

      να δείξετε ότι  {x_0} = 1,,,kappa alpha iota ,,,{y_0} = 0.

4. B΄ Λυκείου/ Γενικής / Συστήματα

Συστήματα

Δίνεται το σύστημα  left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{2x - alpha y = 1}{x + beta y = 2}end{array}} right.,,,mu varepsilon ,,,alpha > 0,,,kappa alpha iota ,,,beta in R.

Αν ισχύει  D ge {D_x}  τότε:

Α.   Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση η οποία και να βρεθεί.

Β.   Αν   alpha ,,,beta in mathbb{N}  και για τη μοναδική λύση  left( {{x_0},,,{y_0}} right)  του συστήματος ισχύει  {x_0} = {y_0}

      να δείξετε ότι  {x_0} = {y_0} = 1.

3. B΄ Λυκείου/ Γενικής / Συστήματα

Συστήματα

Δίνεται το 2x2 γραμμικό σύστημα (Σ) για τις ορίζουσες του οποίου ισχύουν:

left| {{D_x} + {D_y} + D} right| + left| {{D_x} - {D_y} + 3D} right| = 0  και  {D_x} > {D_y}.  

Α.   Να δείξετε ότι το (Σ) έχει μοναδική λύση. 

Β.   Να βρεθεί η μοναδική λύση του (Σ).

Γ.   Να δείξετε ότι  D < 0. 

Δ.   Να δείξετε ότι   {D_x} > 0,,,,{D_y} < 0,,,kappa alpha iota ,,,{D_x} > - {D_y}.

 

2. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συστήματα

Συστήματα

Δίνεται το σύστημα  

{alpha left( {x - alpha } right) + beta left( {y - beta } right) = {alpha ^2} + {beta ^2}} 
{beta left( {beta - x} right) + alpha left( {y + alpha } right) = 0}

με αγνώστους  x, y και  α, β∈R

A.   Αν  D  είναι η ορίζουσα του συστήματος να δείξετε ότι ισχύει:  D = 0 Leftrightarrow alpha = beta = 0 .

B.   Να δείξετε ότι το σύστημα δεν είναι αδύνατο.

Γ.   Αν ισχύει  left| alpha right| + left| beta right| ne 0  να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την  left( {x,y} right) = left( {2alpha + beta ,,,2beta - alpha } right) .

1. B΄ Λυκείου/ Γενικής / Συστήματα

Συστήματα

Δίνεται το σύστημα  begin{array}{l}left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{{alpha _1}x + {beta _1}y = {gamma _1}}{{alpha _2}x + {beta _2}y = {gamma _2}}end{array}} right.end{array}   με ορίζουσες  D,,,,{D_x},,,,{D_y}.

Αν ισχύουν:  {D_x} < {D_y},,,,,,,{D_x} + {D_y} = 5D,,,,,,kappa alpha iota ,,,,,,{D_x}{D_y} = 6{D^2}

A.   Να αποδειχτεί ότι το σύστημα έχει μία μοναδική λύση.

Β.   Να λυθεί το σύστημα.

Γ.   Έστω η λύση του συστήματος είναι η  left( {3,2} right),  και   {gamma _1} = {gamma _2} = 1  

   1.   Να αποδειχτεί ότι  {alpha _1}{beta _2} < {alpha _2}{beta _1}

   2.   Να αποδειχτεί ότι  {beta _2} < {beta _1}

   3.   Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκουν τα σημεία  left( {{alpha _1},{beta _1}} right),,,,kappa alpha iota ,,,left( {{alpha _2},{beta _2}} right)