eMath:a - Συναρτήσεις

12. Β΄ Λυκείου / Γενικής / Συναρτήσεις

Συναρτήσεις 12 Ιανουάριος 2020

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τμήμα γραφικής παράστασης συνάρτησης με πεδίο ορισμού ${\rm A} = R$

η οποία δεν τέμνει τον άξονα .

A. Να δικαιολογηθεί γιατί η δεν μπορεί να είναι περιττή.

B. Αν η είναι άρτια τότε:

1. Να σχεδιαστεί και η υπόλοιπη γραφική παράσταση της , να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας καθώς και η μονοτονία της σε καθένα από αυτά.

2. Να αποδειχτεί ότι για κάθε ισχύει: $\frac{{f\left( x \right) - 1}}{x} > 0$

3. Να λυθεί η ανίσωση $f\left( {\left| x \right|} \right) - f\left( {\left| {1 - x} \right|} \right) > 0$

4. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της και να αποδειχτεί ότι για κάθε $\alpha ,\beta \in R$ υπάρχει ${x_o} \in R$ ώστε $f\left( {{x_o}} \right) = f\left( \alpha \right)f\left( \beta \right)$ .

11. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις 14 Δεκέμβριος 2018

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} - \sqrt {x + 4} .$

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β. Να δειχτεί ότι είναι περιττή.

Γ. Να δειχτεί ότι

1. η είναι γνησίως φθίνουσα και να μελετηθεί το πρόσημό της.

2. η έχει ελάχιστο το $- 2\sqrt 2$ και μέγιστο το $2\sqrt 2$ .

Δ. Να δειχτεί ότι για κάθε $\alpha ,\beta \in {{\rm A}_g}$ ισχύει $\,g\left( \alpha \right) + g\left( \beta \right) \ge - 4\sqrt 2$ .

10. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις 14 Δεκέμβριος 2018

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $g\left( x \right) = \sqrt {x + 2} - \sqrt {2 - x} .$

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β. Να δειχτεί ότι είναι περιττή.

Γ. Να δειχτεί ότι

1. η είναι γνησίως αύξουσα και να μελετηθεί το πρόσημό της.

2. η έχει ελάχιστο το -2 και μέγιστο το 2.

3. για κάθε $\alpha ,\beta \in {{\rm A}_g}$ ισχύει $g\left( \alpha \right) + g\left( \beta \right) \le 4$

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις 20 Ιανουάριος 2018

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,\,\,g$ με πεδίο ορισμού το $A = \left[ {1, + \infty } \right)$ . Αν ισχύουν:

$g\left( A \right) = \left[ {\sqrt 2 , + \infty } \right)$

γνησίως αύξουσα

και $f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) = - 2$ , για κάθε $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ τότε:

Α. Να δείξετε ότι $f\left( x \right) < 0$ για κάθε $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ .

Β. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.

Γ. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της .

Δ. Αν $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 1}$ για κάθε $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ τότε να δείξετε ότι:

1. $f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} - \sqrt {x + 1}$ για κάθε $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ .

2. Η συνάρτηση $\varphi \left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}},\,\,\,x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ , έχει ελάχιστη τιμή το -1 .

8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις 16 Ιανουάριος 2017

Έστω $f:R \to R$ με γνησίως φθίνουσα στο $\left( { - \infty ,0} \right)$

και για κάθε $x \in R$ ισχύει $f\left( {{x^2}} \right) = 2f\left( x \right)$ . Να δειχτεί ότι:

Α. Η ${C_f}$ περνά από την αρχή των αξόνων.

Β. Η είναι άρτια και να υπολογίσετε $f\left( 1 \right)$ και $f\left( { - 1} \right)$ .

Γ. Η είναι γνησίως αύξουσα στο $\left( {0, + \infty } \right)$ .

Δ.

1. Για κάθε $x \in \left( {0,1} \right)$ , $f\left( {{x^2}} \right) < f\left( x \right) < f\left( {\sqrt x } \right)$

2. $f\left( x \right) \le 0$ , για κάθε $x \in \left[ { - 1,1} \right]$ .

$x \in \left[ { - 1{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} 1} \right]$

7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις 26 Οκτώβριος 2016

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:R \to R$ και για κάθε $x \in R$ ισχύει $f\left( x \right) > 0$ και $g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)$ .

Να αποδειχτεί ότι:

Α. η δεν είναι περιττή ενώ η είναι περιττή

Β. αν $g\left( x \right) = \alpha ,\,\,\,\forall x \in R$ τότε η είναι άρτια

Γ. αν η είναι γνησίως φθίνουσα τότε:

1. η είναι γνησίως φθίνουσα

2. $xg\left( x \right) \le 0,\,\,\,\forall x \in R$ .

6. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις 28 Φεβρουάριος 2015

Δίνεται η συνάρτηση περιττή και γνησίως αύξουσα στο R.

Α. Να δείξετε ότι $fleft( 0 right) = 0,,,kappa alpha iota ,,,x,fleft( x right) > 0,,,,forall x in {R^ * }$

Β. Αν $gleft( x right) = {x^2} - fleft( 1 right)x + fleft( { - 1} right)fleft( 1 right),,,,x in R$ τότε να δείξετε ότι

1. Η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα x’x σε δύο διαφορετικά σημεία.

2. $gleft( x right) = {left( {x - frac{{fleft( 1 right)}}{2}} right)^2} - frac{{5{f^2}left( 1 right)}}{4},,,,forall x in R$

3. Αν η ελάχιστη τιμή της g είναι η -5 τότε

Γ. Αν για κάθε ^* ισχύει $frac{{fleft( x right)}}{x} + 4frac{x}{{fleft( x right)}} le 4$ να βρείτε τον τύπο της .

5. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις 12 Νοέμβριος 2014

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $fleft( x right) = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}{sqrt { - x} + 1}&{frac{{ - 3}}{{{x^2}}} - frac{1}{{3x}}}{3x}&{sqrt { - x} - 1}end{array}} right|$ .