Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τμήμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f με πεδίο ορισμού {\rm A} = R

η οποία δεν τέμνει τον άξονα x'x .

Καταγραφή

A.   Να δικαιολογηθεί γιατί η f δεν μπορεί να είναι περιττή.

B.   Αν η f είναι άρτια τότε:

   1.   Να σχεδιαστεί και η υπόλοιπη γραφική παράσταση της f , να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας καθώς και η μονοτονία της σε καθένα από αυτά.

   2.   Να αποδειχτεί ότι για κάθε x < 0 ισχύει: \frac{{f\left( x \right) - 1}}{x} > 0

   3.   Να λυθεί η ανίσωση  f\left( {\left| x \right|} \right) - f\left( {\left| {1 - x} \right|} \right) > 0

   4.   Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f και να αποδειχτεί ότι για κάθε \alpha ,\beta  \in R υπάρχει {x_o} \in Rώστε f\left( {{x_o}} \right) = f\left( \alpha  \right)f\left( \beta  \right).

Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g\left( x \right) = \sqrt {4 - x}  - \sqrt {x + 4} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να δειχτεί ότι είναι περιττή.

Γ.   Να δειχτεί ότι

   1.   η g είναι γνησίως φθίνουσα και να μελετηθεί το πρόσημό της.

   2.   η g έχει ελάχιστο το  - 2\sqrt 2   και μέγιστο το 2\sqrt 2 .

Δ.   Να δειχτεί ότι για κάθε \alpha ,\beta  \in {{\rm A}_g}  ισχύει  \,g\left( \alpha  \right) + g\left( \beta  \right) \ge  - 4\sqrt 2 .

Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g\left( x \right) = \sqrt {x + 2}  - \sqrt {2 - x} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να δειχτεί ότι είναι περιττή.

Γ.   Να δειχτεί ότι

   1.   η g  είναι γνησίως αύξουσα και να μελετηθεί το πρόσημό της.

   2.   η g  έχει ελάχιστο το -2 και μέγιστο το 2.

   3.   για κάθε  \alpha ,\beta  \in {{\rm A}_g}  ισχύει g\left( \alpha  \right) + g\left( \beta  \right) \le 4

Δίνονται οι συναρτήσεις f,\,\,g  με πεδίο ορισμού το  A = \left[ {1, + \infty } \right). Αν ισχύουν:

           g\left( A \right) = \left[ {\sqrt 2 , + \infty } \right)

           g  γνησίως αύξουσα

   και   f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) =  - 2 , για κάθε  x \in \left[ {1, + \infty } \right) τότε:

Α.   Να δείξετε ότι f\left( x \right) < 0 για κάθε x \in \left[ {1, + \infty } \right) .

Β.   Να δείξετε ότι η f  είναι γνησίως αύξουσα.

Γ.   Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f .

Δ.   Αν  g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {x + 1}   για κάθε x \in \left[ {1, + \infty } \right)  τότε να δείξετε ότι:

   1.   f\left( x \right) = \sqrt {x - 1}  - \sqrt {x + 1}   για κάθε x \in \left[ {1, + \infty } \right) .

   2.   Η συνάρτηση  \varphi \left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}},\,\,\,x \in \left[ {1, + \infty } \right),  έχει ελάχιστη τιμή το -1 .

Έστω f:R \to R με f γνησίως φθίνουσα στο \left( { - \infty ,0} \right)

και για κάθε x \in R ισχύει f\left( {{x^2}} \right) = 2f\left( x \right). Να δειχτεί ότι:

Α.   Η {C_f}  περνά από την αρχή των αξόνων.

Β.   Η f είναι άρτια και να υπολογίσετε f\left( 1 \right) και f\left( { - 1} \right) .

Γ.   Η f  είναι γνησίως αύξουσα στο \left( {0, + \infty } \right).

Δ.  

   1.   Για κάθε x \in \left( {0,1} \right) f\left( {{x^2}} \right) < f\left( x \right) < f\left( {\sqrt x } \right)

   2.  f\left( x \right) \le 0, για κάθε x \in \left[ { - 1,1} \right].

x \in \left[ { - 1{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} 1} \right]

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:R \to R  και για κάθε x \in R  ισχύει f\left( x \right) > 0  και g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( { - x} \right) .

Να αποδειχτεί ότι:

Α.   η f  δεν είναι περιττή ενώ η g  είναι περιττή

Β.   αν g\left( x \right) = \alpha ,\,\,\,\forall x \in R  τότε η f  είναι άρτια

Γ.   αν η f  είναι γνησίως φθίνουσα τότε:

   1.   η g  είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   xg\left( x \right) \le 0,\,\,\,\forall x \in R.

Δίνεται η συνάρτηση  f  περιττή και γνησίως αύξουσα στο R.

Α.   Να δείξετε ότι  fleft( 0 right) = 0,,,kappa alpha iota ,,,x,fleft( x right) > 0,,,,forall x in {R^ * }

Β.   Αν  gleft( x right) = {x^2} - fleft( 1 right)x + fleft( { - 1} right)fleft( 1 right),,,,x in R  τότε να δείξετε ότι

   1.   Η γραφική παράσταση της  g  τέμνει τον άξονα  x’x  σε δύο διαφορετικά σημεία.

   2.   gleft( x right) = {left( {x - frac{{fleft( 1 right)}}{2}} right)^2} - frac{{5{f^2}left( 1 right)}}{4},,,,forall x in R

   3.   Αν η ελάχιστη τιμή της  g  είναι η  -5  τότε   fleft( { - 1} right) =  - 2

 Γ.   Αν για κάθε  x in R*   ισχύει   frac{{fleft( x right)}}{x} + 4frac{x}{{fleft( x right)}} le 4   να βρείτε τον τύπο της  f.

Δίνεται η συνάρτηση  f:A to mathbb{R}  με τύπο  fleft( x right) = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}{sqrt { - x}  + 1}&{frac{{ - 3}}{{{x^2}}} - frac{1}{{3x}}}{3x}&{sqrt { - x}  - 1}end{array}} right|.

Α.   Να βρείτε το πεδίο ορισμού της  A και να δείξετε ότι   fleft( x right) = frac{9}{x} - x,,,,forall x in {rm A}.

Β.   Να δείξετε ότι η  f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Γ.   Να δείξετε ότι η  f είναι γνησίως φθίνουσα στο  A.

Δ.   Να λύσετε την ανίσωση  fleft( { - sqrt { - x} } right) > fleft( x right).

Δίνεται η συνάρτηση  f:A to mathbb{R}  με τύπο  fleft( x right) = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}{sqrt { - x}  + 1}&{frac{{ - 3}}{{{x^2}}} - frac{1}{{3x}}}{3x}&{sqrt { - x}  - 1}end{array}} right| + frac{{10x}}{9}.

Α.   Να βρείτε το πεδίο ορισμού της  A  και να δείξετε ότι  fleft( x right) = frac{9}{x} + frac{x}{9},,,,forall x in {rm A}.

Β.   Να δείξετε ότι η  f  δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Γ.   Να δείξετε ότι  {f_{max }} =  - 2.

Δ.   Να λύσετε την εξίσωση  fleft( x right) =  - 2 + {(x + 9)^2}.