9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Συναρτήσεις

Δίνονται οι συναρτήσεις f,\,\,g  με πεδίο ορισμού το  A = \left[ {1, + \infty } \right). Αν ισχύουν:

           g\left( A \right) = \left[ {\sqrt 2 , + \infty } \right)

           g  γνησίως αύξουσα

   και   f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) =  - 2 , για κάθε  x \in \left[ {1, + \infty } \right) τότε:

Α.   Να δείξετε ότι f\left( x \right) < 0 για κάθε x \in \left[ {1, + \infty } \right) .

Β.   Να δείξετε ότι η f  είναι γνησίως αύξουσα.

Γ.   Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f .

Δ.   Αν  g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {x + 1}   για κάθε x \in \left[ {1, + \infty } \right)  τότε να δείξετε ότι:

   1.   f\left( x \right) = \sqrt {x - 1}  - \sqrt {x + 1}   για κάθε x \in \left[ {1, + \infty } \right) .

   2.   Η συνάρτηση  \varphi \left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}},\,\,\,x \in \left[ {1, + \infty } \right),  έχει ελάχιστη τιμή το -1 .