9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις 20 Ιανουάριος 2018

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,\,\,g$ με πεδίο ορισμού το $A = \left[ {1, + \infty } \right)$ . Αν ισχύουν:

$g\left( A \right) = \left[ {\sqrt 2 , + \infty } \right)$

γνησίως αύξουσα

και $f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) = - 2$ , για κάθε $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ τότε:

Α. Να δείξετε ότι $f\left( x \right) < 0$ για κάθε $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ .

Β. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.

Γ. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της .

Δ. Αν $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 1}$ για κάθε $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ τότε να δείξετε ότι:

1. $f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} - \sqrt {x + 1}$ για κάθε $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ .

2. Η συνάρτηση $\varphi \left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}},\,\,\,x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ , έχει ελάχιστη τιμή το -1 .