eMath:a - Τριγωνομετρία

12. Β΄ Λυκείου / Γενικής / Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία 20 Απρίλιος 2020

A. Να αποδείξετε ότι: $\frac{1}{{\eta \mu x}} - \eta \mu x = \sigma \upsilon \nu x \cdot \sigma \varphi x,\,\,\,x \ne \kappa \pi ,\,\,\,\forall \kappa \in Z$ .

B. Αν $\sigma \upsilon \nu x \cdot \sigma \varphi x = \frac{8}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x \in \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right)$ τότε:

1. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας .

2. Να δείξετε ότι: $\frac{{\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) \cdot \varepsilon \varphi \left( {\pi - x} \right)}}{{3\eta \mu \left( {\pi + x} \right) + 2}} = - \frac{1}{3}$

11. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία 05 Μάρτιος 2020

Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right) = \varepsilon \varphi \left( {x - \alpha } \right)\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\alpha \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\varepsilon \varphi \alpha = - 3$

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

Β. Αν $0 < \left| \theta \right| \le \frac{\pi }{4}$ να αποδειχτεί ότι $\forall x \in \left[ {\alpha - \left| \theta \right|,\alpha + \left| \theta \right|} \right]$ ισχύει $\left| {f\left( x \right)} \right| \le 1$

Γ. Να βρεθούν τα κοινά σημεία της ${C_f}$ με την ευθεία $\varepsilon :y = - \frac{1}{3}$

10. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία 31 Δεκέμβριος 2018

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:\left[ { - \pi ,\pi } \right] \to R$ με $f\left( x \right) = \eta \mu x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,g\left( x \right) = \sigma \upsilon \nu x$

Από τυχαίο σημείο ${\rm A}\left( {x,f\left( x \right)} \right)$ φέρνουμε κάθετη στον άξονα η οποία θα τέμνει την ${C_g}$ στο σημείο Β.

Α. Να βρεθούν τα σημεία Α και Β όταν ισχύει $\left( {{\rm O}{\rm A}} \right) = \left( {{\rm O}{\rm B}} \right)$ όπου Ο η αρχή των αξόνων.

Β. Αν ΟΑΒ είναι τρίγωνο με εμβαδό ${\rm E}\left( x \right)$

1. Να αποδειχτεί ότι: $x \ne - \frac{{3\pi }}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x \ne \frac{\pi }{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x \ne 0$

2. Να αποδειχτεί ότι: ${\rm E}\left( x \right) = \frac{{\left| {x\left( {\eta \mu x - \sigma \upsilon \nu x} \right)} \right|}}{2}$

3. Να βρεθεί το σημείο Α όταν η απόστασή του από τον άξονα ισούται με το διπλάσιο του εμβαδού του ΟΑΒ.

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία 20 Ιανουάριος 2018

Στο διπλανό σχήμα ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο ${\rm O}\left( {0,0} \right)$ και ακτίνα $\rho = 1$ .

Επίσης το σημείο ${\rm M}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ είναι σημείο του κύκλου

και η ΟΜ είναι η τελική πλευρά της προσανατολισμένης γωνίας θ.

Αν ισχύει $2{x_0}{y_0} = 1$ τότε:

Α. Να υπολογίσετε το $\eta \mu \theta \cdot \sigma \upsilon \nu \theta$ .

Β. Να αποδείξετε ότι $\varepsilon \varphi \theta + \sigma \varphi \theta = 2$ .

Γ. Να αποδείξετε ότι $\eta \mu \theta + \sigma \upsilon \nu \theta = - \sqrt 2$ .

Δ. Να υπολογίσετε τους $\eta \mu \theta ,\,\,\,\sigma \upsilon \nu \theta$ .

8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία 19 Ιανουάριος 2018

Α. Να αποδείξετε ότι : $\frac{{\eta {\mu ^2}\theta }}{{1 - \sigma \upsilon \nu \theta }} - \frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta }}{{1 - \eta \mu \theta }} = \sigma \upsilon \nu \theta - \eta \mu \theta$ , $\theta \ne 2\kappa \pi ,2\kappa \pi + \frac{\pi }{2}$ για κάθε $\kappa \in \mathbb{Z}.$

Β. Αν ισχύουν $\frac{{\eta {\mu ^2}\theta }}{{1 - \sigma \upsilon \nu \theta }} - \frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta }}{{1 - \eta \mu \theta }} = \eta \mu \theta$ και $\theta \in \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right)$

να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας θ.

7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία 29 Ιούλιος 2014

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο . Να δείξετε ότι:

A. .

B. Η δεν είναι περιοδική.

6. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία 08 Φεβρουάριος 2014

Δίνονται οι συναρτήσεις $fleft( x right) = eta {mu ^2}x + eta mu x$ και $gleft( x right) = sigma upsilon {nu ^2}x + sigma upsilon nu x$ , $x in left[ {0,frac{pi }{2}} right]$ .

Α. Βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής τους παράστασης με τον άξονα x΄x.

Β. Λύστε την εξίσωση .

Γ. Να δείξετε ότι για κάθε $x in left[ {0,frac{pi }{4}} right]$ , .

5. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία 05 Φεβρουάριος 2014

Δίνεται η συνάρτηση $fleft( x right) = eta {mu ^2}2x - eta mu 2x,,,forall x in R$ .

Α. Να δείξετε ότι $fleft( x right) ge - frac{1}{4},,,forall x in R$ .

Β. Να βρεθούν τα στα οποία η παρουσιάζει ελάχιστη τιμή καθώς και η ελάχιστη τιμή της .

Γ. Λύστε την ανίσωση ${f^2}left( x right) + 4 le 4fleft( x right)$ .

4. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία 04 Φεβρουάριος 2014

Για τη γωνία ισχύει $eta {mu ^2}x = sigma upsilon nu x$ . Να δείξετε ότι:

Α.

Β. $frac{1}{{sigma upsilon nu x}} = 1 + sigma upsilon nu x$

Γ. $varepsilon {varphi ^2}x - sigma {varphi ^2}x = 1$

Δ. $sigma upsilon nu x = frac{{sqrt 5 - 1}}{2}$

Ε.

$frac{{frac{1}{{sigma {varphi ^2}left( {frac{pi }{2} - x} right)}} - frac{1}{{varepsilon {varphi ^2}left( {frac{pi }{2} + x} right)}}}}{{eta mu left( {frac{{3pi }}{2} - x} right)}}$

$= frac{{sqrt 5 + 1}}{2}$

3. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία