A.   Να αποδείξετε ότι:  \frac{1}{{\eta \mu x}} - \eta \mu x = \sigma \upsilon \nu x \cdot \sigma \varphi x,\,\,\,x \ne \kappa \pi ,\,\,\,\forall \kappa  \in Z .

B.   Αν  \sigma \upsilon \nu x \cdot \sigma \varphi x = \frac{8}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x \in \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right)  τότε:

   1.   Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας .

   2.   Να δείξετε ότι: \frac{{\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) \cdot \varepsilon \varphi \left( {\pi  - x} \right)}}{{3\eta \mu \left( {\pi  + x} \right) + 2}} =  - \frac{1}{3}

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = \varepsilon \varphi \left( {x - \alpha } \right)\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\alpha  \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\varepsilon \varphi \alpha  =  - 3

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της  f

Β.   Αν 0 < \left| \theta  \right| \le \frac{\pi }{4}  να αποδειχτεί ότι \forall x \in \left[ {\alpha  - \left| \theta  \right|,\alpha  + \left| \theta  \right|} \right]  ισχύει  \left| {f\left( x \right)} \right| \le 1

Γ.   Να βρεθούν τα κοινά σημεία της {C_f}  με την ευθεία  \varepsilon :y =  - \frac{1}{3}

Δίνονται οι συναρτήσεις  f,g:\left[ { - \pi ,\pi } \right] \to R  με f\left( x \right) = \eta \mu x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,g\left( x \right) = \sigma \upsilon \nu x

Από τυχαίο σημείο {\rm A}\left( {x,f\left( x \right)} \right)  φέρνουμε κάθετη στον άξονα x'x η οποία θα τέμνει την {C_g}  στο σημείο Β.

Α.   Να βρεθούν τα σημεία Α και Β όταν ισχύει \left( {{\rm O}{\rm A}} \right) = \left( {{\rm O}{\rm B}} \right)  όπου Ο η αρχή των αξόνων.

Β.   Αν ΟΑΒ είναι τρίγωνο με εμβαδό {\rm E}\left( x \right)

   1.  Να αποδειχτεί ότι: x \ne  - \frac{{3\pi }}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x \ne \frac{\pi }{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x \ne 0

   2.   Να αποδειχτεί ότι: {\rm E}\left( x \right) = \frac{{\left| {x\left( {\eta \mu x - \sigma \upsilon \nu x} \right)} \right|}}{2}

   3.   Να βρεθεί το σημείο Α όταν η απόστασή του από τον άξονα y'y ισούται με το διπλάσιο του εμβαδού του ΟΑΒ.

Στο διπλανό σχήμα ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο  {\rm O}\left( {0,0} \right)  και ακτίνα \rho  = 1 .

Επίσης το σημείο {\rm M}\left( {{x_0},{y_0}} \right) είναι σημείο του κύκλουθέμα 9 Β λυκείου άλγεβρα τριγωνομετρία

και η ΟΜ είναι η τελική πλευρά της προσανατολισμένης γωνίας θ.

Αν ισχύει  2{x_0}{y_0} = 1  τότε:

Α.   Να υπολογίσετε το  \eta \mu \theta  \cdot \sigma \upsilon \nu \theta .

Β.   Να αποδείξετε ότι  \varepsilon \varphi \theta  + \sigma \varphi \theta  = 2 .

Γ.   Να αποδείξετε ότι  \eta \mu \theta  + \sigma \upsilon \nu \theta  =  - \sqrt 2 .

Δ.   Να υπολογίσετε τους  \eta \mu \theta ,\,\,\,\sigma \upsilon \nu \theta .

Α.   Να αποδείξετε ότι :  \frac{{\eta {\mu ^2}\theta }}{{1 - \sigma \upsilon \nu \theta }} - \frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta }}{{1 - \eta \mu \theta }} = \sigma \upsilon \nu \theta  - \eta \mu \theta , \theta  \ne 2\kappa \pi ,2\kappa \pi  + \frac{\pi }{2}  για κάθε \kappa  \in \mathbb{Z}.

Β.   Αν ισχύουν  \frac{{\eta {\mu ^2}\theta }}{{1 - \sigma \upsilon \nu \theta }} - \frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta }}{{1 - \eta \mu \theta }} = \eta \mu \theta    και \theta  \in \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right)  

      να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας θ.

Δίνεται η συνάρτηση f  με τύπο  fleft( x right) = sigma upsilon nu x + sigma upsilon nu left( {pi x} right),,,,forall x in R . Να δείξετε ότι:

A.   fleft( x right) = fleft( 0 right) Leftrightarrow x = 0 .

B.   Η f δεν είναι περιοδική.

Δίνονται οι συναρτήσεις   fleft( x right) = eta {mu ^2}x + eta mu x  και  gleft( x right) = sigma upsilon {nu ^2}x + sigma upsilon nu x,  x in left[ {0,frac{pi }{2}} right].

Α.   Βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής τους παράστασης με τον άξονα  x΄x.

Β.   Λύστε την εξίσωση  fleft( x right) = gleft( x right).

Γ.   Να δείξετε ότι για κάθε x in left[ {0,frac{pi }{4}} right], fleft( x right) le gleft( x right).

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = eta {mu ^2}2x - eta mu 2x,,,forall x in R .

Α.   Να δείξετε ότι  fleft( x right) ge  - frac{1}{4},,,forall x in R .

Β.   Να βρεθούν τα  x in left( {0,,,2pi } right)  στα οποία η f  παρουσιάζει ελάχιστη τιμή καθώς και η ελάχιστη τιμή της .

Γ.   Λύστε την ανίσωση  {f^2}left( x right) + 4 le 4fleft( x right).

Για τη γωνία  x in mathbb{R}  ισχύει  eta {mu ^2}x = sigma upsilon nu x. Να δείξετε ότι:

Α.   eta mu x,,,sigma upsilon nu x ne 0

Β.   frac{1}{{sigma upsilon nu x}} = 1 + sigma upsilon nu x

Γ.   varepsilon {varphi ^2}x - sigma {varphi ^2}x = 1

Δ.   sigma upsilon nu x = frac{{sqrt 5  - 1}}{2}

      

Ε.   

frac{{frac{1}{{sigma {varphi ^2}left( {frac{pi }{2} - x} right)}} - frac{1}{{varepsilon {varphi ^2}left( {frac{pi }{2} + x} right)}}}}{{eta mu left( {frac{{3pi }}{2} - x} right)}}  = frac{{sqrt 5  + 1}}{2}