Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = {x^3} + 2x - 4

Α.   Να αποδειχτεί ότι η  f  είναι γνησίως αύξουσα

Β.   Να λυθεί η ανίσωση:  f\left( {f\left( x \right)} \right) >  - 7

Γ.  

      1.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση  {x^2} + 5x + 5 = y έχει λύση αν και μόνο αν  y \ge  - \frac{5}{4}

      2.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση:   \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) = f\left( \alpha  \right),\,\,\,\alpha  \in R

            έχει λύση εάν και μόνο εάν \alpha  \ge 1

Δ.   Αν  \alpha  = 2  να λυθεί η εξίσωση του ερωτήματος  Γ2.

Δίνεται η συνάρτηση 

Α.   Να αποδειχτεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα

Β.   Να λυθεί η ανίσωση:

Γ.   να αποδειχτεί ότι η εξίσωση:  έχει λύση εάν και μόνο εάν

Δ.   Αν να λυθεί η εξίσωση του ερωτήματος Γ.

Δίνεται το πολυώνυμο  f\left( x \right) = {x^5} + 3x + 4

Α.   Να γίνει η διαίρεση  f\left( x \right):\left( {x + 1} \right)   και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης

Β.   Να αποδειχτεί ότι η  f  είναι γνησίως αύξουσα και να βρεθεί το πρόσημο του  f\left( x \right)

Γ.   Να αποδειχτεί ότι  \forall x \in R,\,\,\,{x^2} + \frac{4}{{{x^2} + 1}} > x

Δ.    Να αποδειχτεί ότι  \forall x \in R,\,\,\,  {{{\left( {x + 1} \right)}^5}}\limits_{\,\,\,}  - {x^5} + 3 > 0

Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g\left( x \right) = \sqrt {4 + {x^2}}  - \sqrt {4 - {x^2}} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να δειχτεί ότι

   1.   η g είναι γνησίως φθίνουσα στο \left[ { - 2,0} \right] και γνησίως αύξουσα στο \left[ {0,2} \right]

   2.   η g έχει ελάχιστο το 0 και μέγιστο το  2\sqrt 2 .

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση: \sqrt {4 + {x^2}}  - \sqrt {4 - {x^2}}  =  - \sqrt 2 x.

Δίνεται το πολυώνυμο f\left( x \right) = \alpha {x^4} + \beta {x^3} + \gamma {x^2} + \delta x,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta  \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha \gamma  \ne 0.

Αν για κάθε x \in {R^ * }  ισχύει \frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( { - x} \right)}} + \frac{{f\left( { - x} \right)}}{{f\left( x \right)}} = 2  τότε:

Α.   Να αποδειχτεί ότι \beta  = \delta  = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha \gamma  > 0 .

Β.   Αν η εξίσωση f\left( x \right) = 2{x^3}  έχει τρεις λύσεις να αποδειχτεί ότι \left| \gamma  \right| < \frac{1}{{\left| \alpha  \right|}}.

Δίνονται τα πολυώνυμα f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + \alpha x + 2  και g\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + \beta x + 4  με \alpha ,\beta  \in R .

Αν {\rho _1},{\rho _2} \in R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,{\rho _1} \ne {\rho _2}  είναι κοινές ρίζες των f\left( x \right),g\left( x \right)  να δειχτεί ότι:

Α.  \left| {{\rho _1} + {\rho _2}} \right| > 2\sqrt 2 .

Β.   Να βρεθούν οι αριθμοί \alpha ,\beta  και οι {\rho _1},{\rho _2}.

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = \sqrt {x + 2}  - \sqrt {4 - x}

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

Β.   Να αποδειχτεί ότι    f(x)(x - 1) > 0\,,\,\forall x \in {A_f} - \left\{ 1 \right\} 

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση  f\left( x \right) = x - 1

Δίνεται πολυώνυμο  f\left( x \right)  με  f\left( 1 \right) > 0  και  f\left( x \right)f\left( { - x} \right) = {x^4} + \alpha {x^3} - {x^2} + \beta x,\,\,\,\forall x \in R

όπου \alpha ,\beta  \in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι \alpha  = \beta  = 0

Β.   Να αποδειχτεί ότι τα μοναδικά σημεία τομής {C_f} και x'x είναι τα σημεία {\rm O}\left( {0,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm A}\left( { - 1,0} \right)

Γ.   Να βρεθεί ο τύπος του πολυωνύμου

Δ.   Να λυθεί η εξίσωση {f^2}\left( x \right) = 3{x^2} - 2\left( {4 + f\left( x \right)} \right)x + 4

Δίνεται το πολυώνυμο  Pleft( x right) = {x^3} + left( {alpha  + 1} right){x^2} + left( {alpha  + beta } right)x + beta  + 1  με  alpha ,beta  in mathbb{R}.

Α.   Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης  Pleft( x right):left( {x + 1} right).

Β.   Αν ισχύει  beta  > frac{{{alpha ^2}}}{4}  να λύσετε την εξίσωση  Pleft( x right) = 1.

Γ.   Αν υπάρχει  rho  > 0  ώστε  Pleft( rho  right) < 0  να δείξετε ότι  beta  < frac{{{alpha ^2}}}{4}.

Δ.   Αν ισχύουν  Pleft( 1 right) =  - 1,,,kappa alpha iota ,,,Pleft( 0 right) =  - 3  να δείξετε ότι   Pleft( x right) = {x^3} + 3{x^2} - 2x - 3.

Δίνεται το πολυώνυμο  fleft( x right) = alpha {x^5} + x - beta ,,,,alpha ,beta  in R.

Το  fleft( x right)  έχει ρίζα τον  rho  = 1  και η γραφική του παράσταση περνάει από το σημείο  {rm A}left( { - 1,, - ,4} right)

Α.   Δείξτε ότι:  alpha  = 1,,,kappa alpha iota ,,,beta  = 2.

Β.   Δείξτε ότι:  f  γνησίως αύξουσα στο R .

Γ.   Αν  Qleft( x right) = {x^6} - 2{x^5} + {x^2} - 4x + 4  τότε :

   1.   Να δειχτεί ότι:  x - 2  παράγοντας του  Qleft( x right)

   2.   Να λυθεί η ανίσωση   Qleft( x right) ge 0.