8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Δίνεται το πολυώνυμο  fleft( x right) = alpha {x^5} + x - beta ,,,,alpha ,beta in R.

Το  fleft( x right)  έχει ρίζα τον  rho = 1  και η γραφική του παράσταση περνάει από το σημείο  {rm A}left( { - 1,, - ,4} right). 

Α.   Δείξτε ότι:  alpha = 1,,,kappa alpha iota ,,,beta = 2.

Β.   Δείξτε ότι:  f  γνησίως αύξουσα στο R .

Γ.   Αν  Qleft( x right) = {x^6} - 2{x^5} + {x^2} - 4x + 4  τότε :

   1.   Να δειχτεί ότι:  x - 2  παράγοντας του  Qleft( x right)

   2.   Να λυθεί η ανίσωση   Qleft( x right) ge 0.

7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση  f   με τύπο  fleft( x right) = {x^3} + alpha {x^2} + beta x + 7,,,,x in R .

Αν η γραφική παράσταση της  f  περνά από το  {rm M}left( {1,,,4} right)  και  fleft( { - 1} right) = 0 τότε:

Α.   Να δείξετε ότι  fleft( x right) = {x^3} - 5{x^2} + x + 7  για κάθε  x in R.

Β.   Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης  fleft( x right):left( {x + 1} right).

Γ.   Λύστε την ανίσωση  fleft( x right) < 0 .

Δ.   Αν rho in {mathbb{R}^*} και ισχύει  fleft( {left| rho right|} right) < 0 να δείξετε ότι:

   1.   left| {left| rho right| - 3} right| < sqrt 2

   2.   frac{6}{{left| rho right|}} - frac{7}{{{rho ^2}}} > 1.

6. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Προτείνει ο Φώτης Σταυρίδης

Να βρεθεί πολυώνυμο P(x) τρίτου βαθμού αν γνωρίζετε ότι διαιρείται με το 2x2-1 , ότι έχει ρίζα το

- frac{1}{3}   και ότι η γραφική παράσταση του πολυωνύμου διέρχεται από το σημείο Α(-1,-4). 

5. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο  fleft( x right) = {x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 2x + 1,  x in mathbb{R}.

Α.   Να δειχτεί ότι: δεν υπάρχει σημείο του x'x με τετμημένη ακέραιο από το οποίο

      διέρχεται η {C_f}.

Β.   Να δειχτεί ότι:  fleft( x right) = {x^2}left[ {{{left( {x - frac{1}{x}} right)}^2} + 2left( {x - frac{1}{x}} right) + 1} right], forall x in {mathbb{R}^ * }.

Γ.   Βρείτε τα σημεία τομής της  {C_f} με x'x.

4. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

A.   Να δείξετε ότι:  frac{{1 - {lambda ^2}}}{{{lambda ^2}}} > - 1,,,,forall lambda in {mathbb{R}^ * }.

B.   Αν ισχύει   sqrt {x + 1} ge lambda x + lambda ,,,,forall x in left[ { - 1, + infty } right)  να δειχτεί ότι:  lambda le 0.

3. Β΄Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

 Έστω το πολυώνυμο  {rm P}left( x right) = {x^4} - left( {lambda + 1} right){x^3} + left( {{{left( {lambda - 1} right)}^2}} right){x^2} - lambda x + 3lambda - 1

το οποίο έχει παράγοντα το x - 1  και ισχύει  {rm P}left( 0 right) ne 2lambda - 1

Α.   Να δειχτεί ότι   lambda = 1

Β.   Να λυθεί η εξίσωση    {rm P}left( x right) = 0

Γ.   Αν  Qleft( x right) = {left( {x - {rm P}left( x right)} right)^2} + 3 - x   να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης

     Qleft( x right):left( {left( {x - 1} right)left( {x - 2} right)} right)

2. Β΄Λυκείου/ Γενικής/ Πολυωνυμικές εξισώσεις

Πολυώνυμα

A.   Δίνεται ότι η εξίσωση   2{beta ^2}{x^3} + 2{beta ^2}alpha {x^2} + 4{beta ^2}alpha x + 2{beta ^2}alpha - 2alpha beta + alpha = 0,,,,alpha beta ne 0    (1)

     έχει λύση τον αριθμό alpha . 

      1.   Να αποδειχτεί ότι  \beta = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha = - \frac{1}{2}     

      2.   Να λυθεί η εξίσωση  (1).

B.   Δίνεται το πολυώνυμο    {rm P}left( x right) = 12{x^3} - 4{x^2} - 1

     1.   Να γίνει η διαίρεση    {rm P}left( x right):left( {6{x^2} + x - 1} right)

     2.   Να βρεθούν οι τιμές του  x  για τις οποίες η γραφική παράσταση

           του πολυωνύμου βρίσκεται κάτω από την ευθεία  varepsilon :y = 3x - 2.

1. Β΄Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Α.   Δίνονται τα πολυώνυμα  {rm P}left( x right),,,,Qleft( x right)  για τα οποία ισχύει:  Qleft( x right) = {{rm P}^2}left( x right) - {x^2}{rm P}left( x right).

      Αν  rho in R  είναι ρίζα του  Qleft( x right)  και rho  όχι ρίζα του {rm P}left( x right) να δείξετε ότι:

      1.  rho ne 0

      2.  {rm P}left( rho right) > 0

Β.   Δίνονται τα πολυώνυμα  {rm P}left( x right),,,,Qleft( x right)  για τα οποία ισχύει:  Qleft( x right){{rm P}^2}left( x right) + ,{Q^2}left( x right){rm P}left( x right) = {x^2}.

      Αν το μηδέν δεν είναι ρίζα   του Qleft( x right) και του  {rm P}left( x right)  να δείξετε ότι:  {rm P}left( 0 right)Qleft( 0 right) < 0

Γ.   Για το πολυώνυμο  gleft( x right)  ισχύει:  gleft( x right) = left( {{g^2}left( 1 right) - gleft( 0 right)} right){x^4} - 2gleft( 1 right){x^2} + 2gleft( 0 right)

      1. Βρείτε το  gleft( 0 right)

      2. Αν το  gleft( x right)  δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο βρείτε και το  gleft( 1 right).

Δ.   Δίνεται το πολυώνυμο

      {rm P}left( x right) = {left( {{x^3} - x - 1} right)^{2012}} - {left( {{x^3} + x - 1} right)^{2011}} + {left( {{x^3} + 2x - 5} right)^2} + ,,2alpha - 1,,,,alpha in R

       1.  Να βρεθεί η τιμή του α ώστε ο σταθερός όρος του να ισούται με 32.

       2.  Αν  alpha = - 1  να βρεθεί το άθροισμα των συντελεστών του.

Ε.   Δίνεται το πολυώνυμο  {rm P}left( x right),,,,x in R,  για το οποίο ισχύει  {rm P}left( x right) = x - 2alpha + frac{alpha }{{x + 1}} - frac{beta }{x} + frac{{2gamma }}{{{x^2} + x}},

      alpha ,beta ,gamma in R,,,,x ne 0,,,kappa alpha iota ,,,x ne - 1. Αν το άθροισμα των συντελεστών του είναι ίσο με 9

       1.  Να βρεθεί ο βαθμός του.

       2.  Να βρεθούν οι ,alpha ,beta ,gamma .