15. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο   fleft( x right) = ln x cdot ln left( {frac{alpha }{x}} right),,,,x > 0,,,kappa alpha iota ,,,alpha > 1. 

Α.   Να δείξετε ότι  fleft( x right) = - {ln ^2}x + ln alpha ,, cdot ,,ln x,,,,forall x > 0. 

Β.   Να δείξετε ότι  fleft( x right) = fleft( {frac{alpha }{x}} right),,,,forall x > 0. 

Γ.   Λύστε την εξίσωση   {e^{2fleft( x right)}} + 1 = 2{e^{fleft( {frac{alpha }{x}} right)}}. 

Δ.   Να λύσετε την ανίσωση   fleft( x right) ge ln left( {frac{alpha }{x}} right).

 

14. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = ln left( {1 - x} right) + {e^{1 - x}}

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Α.

Β.   Να δειχτεί ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο Α.

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση:  fleft( x right) = e

Δ.   Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης   gleft( x right) = fleft( {1 - x} right) - fleft( x right)

Ε.   Να λυθεί η ανίσωση:  ln frac{3}{x} ge {e^x} - {e^3}

13. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση

Δίνεται η συνάρτηση   fleft( x right) = ln frac{x}{{1 - x}}

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Α.

Β.   Να δειχτεί ότι είναι γνήσια αύξουσα στο Α.

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση:  fleft( x right) = 0

Δ.   Να δειχτεί ότι:  fleft( x right) + fleft( {1 - x} right) = 0,,,,forall x in {rm A}

Ε.   Να δειχτεί ότι η εξίσωση:  fleft( x right) = alpha   έχει λύση  forall alpha in R

 

 

12. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση

Δίνεται η συνάρτηση   fleft( x right) = {left( {5 + 2sqrt 6 } right)^x} - {left( {5 - 2sqrt 6 } right)^x}

 

Α.   Να δειχτεί ότι είναι γνήσια αύξουσα στο R.

Β.   Να δειχτεί ότι είναι περιττή στο R.

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση:  fleft( x right) = - 4sqrt 6

 

Δ.   Να δειχτεί ότι η εξίσωση:  fleft( x right) = alpha   έχει λύση  forall alpha in R

 

 

11. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση

Δίνεται η συνάρτηση   fleft( x right) = {e^x} + ln x - e,,,,x > 0

Α.   Να δειχτεί ότι:  f   γνήσια αύξουσα στο  left( {0, + infty } right)

Β.   Να λυθεί η εξίσωση:  fleft( x right) = 0

Γ.   Να λυθεί η ανίσωση:  {e^{{x^2} - x}} - {e^{2x + 4}} ge ln left( {2x + 4} right) - ln left( {{x^2} - x} right)

 

10. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = {e^{ - x}} - {e^x}

Α.   Να δειχτεί ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο R.

Β.   Να δειχτεί ότι είναι περιττή στο R.

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση :  fleft( x right) = 2

Δ.   Να δειχτεί ότι η εξίσωση:  fleft( x right) = alpha   έχει μοναδική λύση  forall alpha in R

Ε.   Να λυθεί η ανίσωση:   {e^{1 - x}} + {e^{{x^2} - 7}} le {e^{x - 1}} + {e^{7 - {x^2}}}

 

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = frac{{ln x}}{{ln x + 2}}

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Α.

Β.   Να μελετηθεί η μονοτονία της.

Γ.   Να δειχτεί ότι:  fleft( x right) ne 1,,,,forall x in {rm A}  

Δ.   Να δειχτεί ότι η εξίσωση:  fleft( x right) = alpha    έχει λύση αν και μόνο αν   alpha in R - left{ 1 right}

 

 

8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση

Δίνεται η συνάρτηση   fleft( x right) = frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} - 1}}

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να μελετηθεί η μονοτονία της.

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση:  fleft( x right) = 3

Δ.   Να δειχτεί ότι η εξίσωση:  fleft( x right) = alpha    έχει λύση αν και μόνο αν  alpha in left( { - infty , - 1} right) cup left( {1, + infty } right)

 

 

7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = ln left( {ln {x^2}} right)

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να μελετηθεί η μονοτονία της στα διαστήματα  left( { - infty , - 1} right),,,kappa alpha iota ,,,left( {1, + infty } right)

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση:  fleft( x right) = 0.

Δ.   Να δειχτεί ότι η εξίσωση:  fleft( x right) = alpha   έχει δύο ακριβώς λύσεις  forall alpha in R.