Δίνεται η συνάρτηση με τύπο  f\left( x \right) = \sqrt {1 - x}  - \sqrt {1 + x} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να δειχτεί ότι είναι περιττή

Β.   Να δειχτεί ότι η  f  είναι  γνησίως φθίνουσα και να υπολογιστεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της.

Γ.   Αν Α γωνία τριγώνου και ισχύει  f\left( {\eta \mu {\rm A}} \right) + f\left( {\sigma \upsilon \nu {\rm A}} \right) \ge 0  τότε να δειχτεί ότι:

   1.   Η Α είναι αμβλεία

   2.   - 1 < \varepsilon \varphi {\rm A} < 0

Δίνεται το πολυώνυμο {\rm P}\left( x \right) = {x^4} + \alpha {x^3} + \beta x + \alpha \beta ,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\alpha ,\beta  \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha  > \beta .

Α.   Να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης  {\rm P}\left( x \right):\left( {x + \alpha } \right).

Β.   Αν ισχύουν {\rm P}\left( 0 \right) = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm P}\left( 1 \right) = 6  να υπολογιστούν τα \alpha ,\beta .

Γ.   Αν \alpha  = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\beta  = 1 να λύσετε την ανίσωση: {\rm P}\left( x \right) \ge 2x + 4.

Δ.   Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία \theta  \ne 2\kappa \pi  + \frac{\pi }{2},\,\,\,\forall \kappa  \in {\rm Z}  ισχύει {\rm P}\left( {\eta \mu \theta } \right) - 2\eta \mu \theta  < 4.

Δίνεται η συνάρτηση f  με τύπο f\left( x \right) = \sqrt {1 - x}  - x.

A.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f και να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα.

Β.   Να αποδειχτεί ότι το μοναδικό σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f  με τον άξονα x'x  είναι το {\rm A}\left( {\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2},0} \right) .

Γ.   Να αποδειχτεί ότι ισχύει η ισοδυναμία: {f^2}\left( x \right) < 1\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x \in \left( {0,1} \right).

Δ.   Να λυθεί η ανίσωση: \frac{{{2^{ln\left( {1 - f\left( x \right)} \right)}}}}{{{2^{ln\left( {1 + f\left( x \right)} \right)}}}}\,\,\, < \,\,\,1.

Αν για το πολυώνυμο Ρ ισχύουν {\rm P}\left( 0 \right) = 0  και \forall x \in R,\,\,\,{\rm P}\left( x \right) \ge \frac{{{\rm P}\left( 1 \right) - 1 + 2x}}{2}  τότε:

Α.   Να δείξετε ότι  {\rm P}\left( 1 \right) = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm P}\left( x \right) \ge x,\,\,\,\forall x \in R

Β.   Αν \alpha  \in \left[ {1,e} \right]  και ισχύει {\rm P}\left( {\ln \alpha } \right) \le {\ln ^2}\alpha  να δείξετε ότι  \alpha  = 1 ή \alpha  = e

Γ.   Να δείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο f\left( x \right) = {\rm P}\left( x \right) + {\rm P}\left( { - x} \right),\,\,\,x \in R  

     είναι άρτια και έχει ελάχιστη τιμή το μηδέν.

Δ.   Αν {\rm P}\left( x \right) = {x^4} + \alpha \,{x^3} + {x^2} + x,\,\,\,x \in R

   1.   να βρεθεί ο α

   2.   να δείξετε ότι το {x^2}  είναι παράγοντας του f\left( x \right).

Δίνεται η συνάρτηση  f, με τύπο f\left( x \right) = x - \sqrt {1 - x} .
Α.   Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.

Β.   Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α.

Γ.   Να δείξετε ότι \max f = 1
Δ.   Να λύσετε την ανίσωση f\left( {1 - \eta \mu 2x} \right) \ge 1.

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο  fleft( x right) = {x^v} + frac{1}{{{x^v}}},,,,forall x in {mathbb{R}^ * },,,,nu  in {rm N}  περιττός.

Α.   Να δείξετε ότι  f\left( x \right) \ge 2,\,\,\,\forall x > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( x \right) \le  - 2,\,\,\,\forall x < 0.

Β.   Να δείξετε ότι για  alpha  in mathbb{R}  η εξίσωση  fleft( x right) = alpha   έχει λύση

       εάν-ν  alpha  in left( { - infty , - 2} right] cup left[ {2, + infty } right).

      Ποιο το σύνολο τιμών της  f;

Γ.   Να λύσετε την εξίσωση :  left( {{x^6} + 1} right)left( {{x^4} + {x^2} + 1} right) = 6{x^5}.

 

 

Δίνεται η συνάρτηση  f  η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο  left[ {0,,, + infty } right)  και έχει σύνολο τιμών το left[ {0,,, + infty } right).

Α.   Να δείξετε ότι  f (0)=0.

Β.   Αν  gleft( x right) = {e^{fleft( x right)}} + fleft( x right),,,x ge 0 ,  να δείξετε ότι  min g = 1.

 

Δίνεται το πολυώνυμο  {rm P}left( x right) = frac{{sigma upsilon nu alpha }}{{eta {mu ^2}alpha }}{x^3} - frac{{sigma upsilon {nu ^2}alpha }}{{eta mu alpha }}x + eta mu alpha  όπου  alpha  ne kappa pi ,,,forall kappa  in {rm Z}.

Α.   Αν το  {rm P}left( x right)  είναι σταθερό πολυώνυμο

       τότε να δείξετε ότι  left| {{rm P}left( x right)} right| = 1

Β.   Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης  {rm P}left( x right):left( {x - eta mu alpha } right)   είναι  upsilon  = sigma upsilon nu alpha

       τότε να δείξετε ότι  alpha  = kappa pi  + frac{pi }{4},,,,,kappa  in {rm Z}.

Δίνεται το πολυώνυμο  Pleft( x right) = frac{{ - Pleft( 0 right)}}{4}{x^3} + 3{x^2} + 2Pleft( 1 right)x - 4.

Α.   Να δείξετε ότι  Pleft( x right) = {x^3} + 3{x^2} - 4.

Β.   Βρείτε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης   Pleft( x right) = 8left( {{x^2} - 1} right).

Γ.   Λύστε την ανίσωση  Pleft( x right) ge 0.

Δ.   Αν για την γωνία  x in left[ {0,pi } right]  ισχύει  eta {mu ^3}x + 3eta {mu ^2}x - 4 ge 0  τότε να δείξετε ότι  x = frac{pi }{2}.