eMath:a - Επαναληπτικές

10. Β΄ Λυκείου / Γενικής / Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 20 Απρίλιος 2020

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $f\left( x \right) = \sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x}$ .

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να δειχτεί ότι είναι περιττή

Β. Να δειχτεί ότι η είναι γνησίως φθίνουσα και να υπολογιστεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της.

Γ. Αν Α γωνία τριγώνου και ισχύει $f\left( {\eta \mu {\rm A}} \right) + f\left( {\sigma \upsilon \nu {\rm A}} \right) \ge 0$ τότε να δειχτεί ότι:

1. Η Α είναι αμβλεία

2. $- 1 < \varepsilon \varphi {\rm A} < 0$

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 04 Ιούνιος 2018

Δίνεται το πολυώνυμο ${\rm P}\left( x \right) = {x^4} + \alpha {x^3} + \beta x + \alpha \beta ,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\alpha ,\beta \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha > \beta$ .

Α. Να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης ${\rm P}\left( x \right):\left( {x + \alpha } \right)$ .

Β. Αν ισχύουν ${\rm P}\left( 0 \right) = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm P}\left( 1 \right) = 6$ να υπολογιστούν τα $\alpha ,\beta$ .

Γ. Αν $\alpha = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\beta = 1$ να λύσετε την ανίσωση: ${\rm P}\left( x \right) \ge 2x + 4$ .

Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία $\theta \ne 2\kappa \pi + \frac{\pi }{2},\,\,\,\forall \kappa \in {\rm Z}$ ισχύει ${\rm P}\left( {\eta \mu \theta } \right) - 2\eta \mu \theta < 4$ .

8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 04 Ιούνιος 2018

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $f\left( x \right) = \sqrt {1 - x} - x$ .

A. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα.

Β. Να αποδειχτεί ότι το μοναδικό σημείο τομής της γραφικής παράστασης της με τον άξονα είναι το ${\rm A}\left( {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2},0} \right)$ .

Γ. Να αποδειχτεί ότι ισχύει η ισοδυναμία: ${f^2}\left( x \right) < 1\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x \in \left( {0,1} \right)$ .

Δ. Να λυθεί η ανίσωση: $\frac{{{2^{ln\left( {1 - f\left( x \right)} \right)}}}}{{{2^{ln\left( {1 + f\left( x \right)} \right)}}}}\,\,\, < \,\,\,1$ .

7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 23 Μάρτιος 2018

Αν για το πολυώνυμο Ρ ισχύουν ${\rm P}\left( 0 \right) = 0$ και $\forall x \in R,\,\,\,{\rm P}\left( x \right) \ge \frac{{{\rm P}\left( 1 \right) - 1 + 2x}}{2}$ τότε:

Α. Να δείξετε ότι ${\rm P}\left( 1 \right) = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm P}\left( x \right) \ge x,\,\,\,\forall x \in R$

Β. Αν $\alpha \in \left[ {1,e} \right]$ και ισχύει ${\rm P}\left( {\ln \alpha } \right) \le {\ln ^2}\alpha$ να δείξετε ότι $\alpha = 1$ ή $\alpha = e$

Γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο $f\left( x \right) = {\rm P}\left( x \right) + {\rm P}\left( { - x} \right),\,\,\,x \in R$

είναι άρτια και έχει ελάχιστη τιμή το μηδέν.

Δ. Αν ${\rm P}\left( x \right) = {x^4} + \alpha \,{x^3} + {x^2} + x,\,\,\,x \in R$

1. να βρεθεί ο α

2. να δείξετε ότι το ${x^2}$ είναι παράγοντας του $f\left( x \right)$ .

6. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 16 Ιανουάριος 2017

Δίνεται η συνάρτηση , με τύπο $f\left( x \right) = x - \sqrt {1 - x}$ .
Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της .

Β. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Α.

Γ. Να δείξετε ότι $\max f = 1$
Δ. Να λύσετε την ανίσωση $f\left( {1 - \eta \mu 2x} \right) \ge 1$ .

5. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 03 Νοέμβριος 2014

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $fleft( x right) = {x^v} + frac{1}{{{x^v}}},,,,forall x in {mathbb{R}^ * },,,,nu in {rm N}$ περιττός.

Α. Να δείξετε ότι $f\left( x \right) \ge 2,\,\,\,\forall x > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( x \right) \le - 2,\,\,\,\forall x < 0$ .

Β. Να δείξετε ότι για η εξίσωση έχει λύση

εάν-ν .

Ποιο το σύνολο τιμών της ;

Γ. Να λύσετε την εξίσωση : $left( {{x^6} + 1} right)left( {{x^4} + {x^2} + 1} right) = 6{x^5}$ .

4. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 28 Σεπτέμβριος 2014

Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο και έχει σύνολο τιμών το .

Α. Να δείξετε ότι f (0)=0.

Β. Αν $gleft( x right) = {e^{fleft( x right)}} + fleft( x right),,,x ge 0$ , να δείξετε ότι .

3. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 09 Φεβρουάριος 2014

Δίνεται το πολυώνυμο ${rm P}left( x right) = frac{{sigma upsilon nu alpha }}{{eta {mu ^2}alpha }}{x^3} - frac{{sigma upsilon {nu ^2}alpha }}{{eta mu alpha }}x + eta mu alpha$ όπου .

Α. Αν το είναι σταθερό πολυώνυμο

τότε να δείξετε ότι

Β. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι

τότε να δείξετε ότι $alpha = kappa pi + frac{pi }{4},,,,,kappa in {rm Z}$ .

2. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 09 Φεβρουάριος 2014

Δίνεται το πολυώνυμο $Pleft( x right) = frac{{ - Pleft( 0 right)}}{4}{x^3} + 3{x^2} + 2Pleft( 1 right)x - 4$ .

Α. Να δείξετε ότι $Pleft( x right) = {x^3} + 3{x^2} - 4$ .

Β. Βρείτε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης $Pleft( x right) = 8left( {{x^2} - 1} right)$ .

Γ. Λύστε την ανίσωση .

Δ. Αν για την γωνία ισχύει $eta {mu ^3}x + 3eta {mu ^2}x - 4 ge 0$ τότε να δείξετε ότι $x = frac{pi }{2}$ .

1. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές