7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 23 Μάρτιος 2018

Αν για το πολυώνυμο Ρ ισχύουν ${\rm P}\left( 0 \right) = 0$ και $\forall x \in R,\,\,\,{\rm P}\left( x \right) \ge \frac{{{\rm P}\left( 1 \right) - 1 + 2x}}{2}$ τότε:

Α. Να δείξετε ότι ${\rm P}\left( 1 \right) = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm P}\left( x \right) \ge x,\,\,\,\forall x \in R$

Β. Αν $\alpha \in \left[ {1,e} \right]$ και ισχύει ${\rm P}\left( {\ln \alpha } \right) \le {\ln ^2}\alpha$ να δείξετε ότι $\alpha = 1$ ή $\alpha = e$

Γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο $f\left( x \right) = {\rm P}\left( x \right) + {\rm P}\left( { - x} \right),\,\,\,x \in R$

είναι άρτια και έχει ελάχιστη τιμή το μηδέν.

Δ. Αν ${\rm P}\left( x \right) = {x^4} + \alpha \,{x^3} + {x^2} + x,\,\,\,x \in R$

1. να βρεθεί ο α

2. να δείξετε ότι το ${x^2}$ είναι παράγοντας του $f\left( x \right)$ .