eMath:a - Γενική

2. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία 08 Δεκέμβριος 2012

Δίνεται η συνάρτηση $fleft( x right) = 2 - 4eta {mu ^2}frac{{pi x}}{2},,,x in R$ .

Α. Να δείξετε ότι .

Β. Να βρεθούν τα στα οποία η f παρουσιάζει ελάχιστη τιμή

καθώς και η ελάχιστη τιμή της.

Γ. Λύστε την ανίσωση ${f^2}left( x right) + fleft( x right) ge 6$ .

1. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία 05 Δεκέμβριος 2012

Δίνεται η συνάρτηση

Α. Να δειχτεί ότι: $fleft( x right) = {left( {frac{{eta mu x}}{{sqrt 2 }} + frac{{sigma upsilon nu x}}{{sqrt 2 }}} right)^2} - frac{1}{2}$ $= frac{1}{2} - {left( {frac{{eta mu x}}{{sqrt 2 }} - frac{{sigma upsilon nu x}}{{sqrt 2 }}} right)^2}$ .

B. Να μελετηθεί η μονοτονία της στο $left[ { - frac{pi }{4},0} right]$ .

Γ. Να δειχτεί ότι $max f = frac{1}{2},$ και $min f = - frac{1}{2}$ .

Δ. Να δειχτεί ότι: , για κάθε

17. Β΄Λυκείου / Γενικής / Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 28 Ιούνιος 2021

Δίνεται η συνάρτηση

$f\left( x \right) = {x^2}$ και τα σημεία Α, Β, Γ, Δ της

${C_f}$

ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι τραπέζιομε μικρή βάση ΑΒ και

${\rm A}{\rm B}||x'x$ .

Αν

${\rm A}\left( {\alpha ,f\left( \alpha \right)} \right),\,\,\,\alpha < 0$ και το τραπέζιο έχει ύψος $\upsilon = 1$

1. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Β, Γ, Δ ως συνάρτηση του α.

2. Να αποδειχτεί ότι το εμβαδό του τραπεζίου δίνεται από την συνάρτηση

${\rm E}\left( \alpha \right) = - \alpha + \sqrt {1 + {\alpha ^2}} ,\,\,\,\alpha < 0$

3. Να υπολογιστεί η τιμή του α όταν το εμβαδό του τραπεζίου ισούται με 2 τετραγωνικές μονάδες.

16. Β΄Λυκείου / Γενικής / Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 20 Απρίλιος 2020

Δίνεται η συνάρτηση

Α. Να αποδειχτεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα

Β. Να λυθεί η ανίσωση:

Γ.

1. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση ${x^2} + 5x + 5 = y$ έχει λύση αν και μόνο αν $y \ge - \frac{5}{4}$

2. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση: $\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) = f\left( \alpha \right),\,\,\,\alpha \in R$

έχει λύση εάν και μόνο εάν $\alpha \ge 1$

Δ. Αν $\alpha = 2$ να λυθεί η εξίσωση του ερωτήματος Γ2.

Δίνεται η συνάρτηση

Α. Να αποδειχτεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα

Β. Να λυθεί η ανίσωση:

Γ. να αποδειχτεί ότι η εξίσωση: έχει λύση εάν και μόνο εάν

Δ. Αν να λυθεί η εξίσωση του ερωτήματος Γ.

15. Β΄Λυκείου / Γενικής / Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 20 Απρίλιος 2020

Δίνεται το πολυώνυμο $f\left( x \right) = {x^5} + 3x + 4$

Α. Να γίνει η διαίρεση $f\left( x \right):\left( {x + 1} \right)$ και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης

Β. Να αποδειχτεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα και να βρεθεί το πρόσημο του $f\left( x \right)$

Γ. Να αποδειχτεί ότι $\forall x \in R,\,\,\,{x^2} + \frac{4}{{{x^2} + 1}} > x$

Δ. Να αποδειχτεί ότι

14. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 31 Δεκέμβριος 2018

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $g\left( x \right) = \sqrt {4 + {x^2}} - \sqrt {4 - {x^2}} .$

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β. Να δειχτεί ότι

1. η είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left[ { - 2,0} \right]$ και γνησίως αύξουσα στο $\left[ {0,2} \right]$

2. η έχει ελάχιστο το 0 και μέγιστο το $2\sqrt 2$ .

Γ. Να λυθεί η εξίσωση: $\sqrt {4 + {x^2}} - \sqrt {4 - {x^2}} = - \sqrt 2 x$ .

13. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 05 Ιούνιος 2018

Δίνεται το πολυώνυμο $f\left( x \right) = \alpha {x^4} + \beta {x^3} + \gamma {x^2} + \delta x,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha \gamma \ne 0$ .

Αν για κάθε $x \in {R^ * }$ ισχύει $\frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( { - x} \right)}} + \frac{{f\left( { - x} \right)}}{{f\left( x \right)}} = 2$ τότε:

Α. Να αποδειχτεί ότι $\beta = \delta = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha \gamma > 0$ .

Β. Αν η εξίσωση $f\left( x \right) = 2{x^3}$ έχει τρεις λύσεις να αποδειχτεί ότι $\left| \gamma \right| < \frac{1}{{\left| \alpha \right|}}$ .

12. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 28 Μάι 2018

Δίνονται τα πολυώνυμα $f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + \alpha x + 2$ και $g\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + \beta x + 4$ με $\alpha ,\beta \in R$ .

Αν ${\rho _1},{\rho _2} \in R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,{\rho _1} \ne {\rho _2}$ είναι κοινές ρίζες των $f\left( x \right),g\left( x \right)$ να δειχτεί ότι: