eMath:a - Γενική

10. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 11 Μάρτιος 2017

Δίνεται πολυώνυμο $f\left( x \right)$ με $f\left( 1 \right) > 0$ και $f\left( x \right)f\left( { - x} \right) = {x^4} + \alpha {x^3} - {x^2} + \beta x,\,\,\,\forall x \in R$

όπου $\alpha ,\beta \in R$

Α. Να αποδειχτεί ότι $\alpha = \beta = 0$

Β. Να αποδειχτεί ότι τα μοναδικά σημεία τομής ${C_f}$ και x'x είναι τα σημεία ${\rm O}\left( {0,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm A}\left( { - 1,0} \right)$

Γ. Να βρεθεί ο τύπος του πολυωνύμου

Δ. Να λυθεί η εξίσωση ${f^2}\left( x \right) = 3{x^2} - 2\left( {4 + f\left( x \right)} \right)x + 4$

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 11 Ιούνιος 2015

Δίνεται το πολυώνυμο $Pleft( x right) = {x^3} + left( {alpha + 1} right){x^2} + left( {alpha + beta } right)x + beta + 1$ με .

Α. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης .

Β. Αν ισχύει $beta > frac{{{alpha ^2}}}{4}$ να λύσετε την εξίσωση .

Γ. Αν υπάρχει ώστε να δείξετε ότι $beta < frac{{{alpha ^2}}}{4}$ .

Δ. Αν ισχύουν να δείξετε ότι $Pleft( x right) = {x^3} + 3{x^2} - 2x - 3$ .

8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 01 Απρίλιος 2015

Δίνεται το πολυώνυμο $fleft( x right) = alpha {x^5} + x - beta ,,,,alpha ,beta in R$ .

Το έχει ρίζα τον και η γραφική του παράσταση περνάει από το σημείο .

Α. Δείξτε ότι: .

Β. Δείξτε ότι: γνησίως αύξουσα στο R .

Γ. Αν $Qleft( x right) = {x^6} - 2{x^5} + {x^2} - 4x + 4$ τότε :

1. Να δειχτεί ότι: παράγοντας του

2. Να λυθεί η ανίσωση .

7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 05 Ιούνιος 2014

Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση με τύπο $fleft( x right) = {x^3} + alpha {x^2} + beta x + 7,,,,x in R$ .

Αν η γραφική παράσταση της περνά από το και τότε:

Α. Να δείξετε ότι $fleft( x right) = {x^3} - 5{x^2} + x + 7$ για κάθε .

Β. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης .

Γ. Λύστε την ανίσωση .

Δ. Αν $rho in {mathbb{R}^*}$ και ισχύει να δείξετε ότι:

2. $frac{6}{{left| rho right|}} - frac{7}{{{rho ^2}}} > 1$ .

6. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 21 Μάρτιος 2014

Προτείνει ο Φώτης Σταυρίδης

Να βρεθεί πολυώνυμο P(x) τρίτου βαθμού αν γνωρίζετε ότι διαιρείται με το 2x²-1 , ότι έχει ρίζα το

$- frac{1}{3}$ και ότι η γραφική παράσταση του πολυωνύμου διέρχεται από το σημείο Α(-1,-4).

5. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 21 Μάρτιος 2014

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $fleft( x right) = {x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 2x + 1$ , .

Α. Να δειχτεί ότι: δεν υπάρχει σημείο του με τετμημένη ακέραιο από το οποίο

διέρχεται η ${C_f}$ .

Β. Να δειχτεί ότι: $fleft( x right) = {x^2}left[ {{{left( {x - frac{1}{x}} right)}^2} + 2left( {x - frac{1}{x}} right) + 1} right]$ , $forall x in {mathbb{R}^ * }$ .

Γ. Βρείτε τα σημεία τομής της ${C_f}$ με .

4. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 21 Μάρτιος 2014

A. Να δείξετε ότι: $frac{{1 - {lambda ^2}}}{{{lambda ^2}}} > - 1,,,,forall lambda in {mathbb{R}^ * }$ .

B. Αν ισχύει να δειχτεί ότι: .

3. Β΄Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα 09 Φεβρουάριος 2014

Έστω το πολυώνυμο ${rm P}left( x right) = {x^4} - left( {lambda + 1} right){x^3} + left( {{{left( {lambda - 1} right)}^2}} right){x^2} - lambda x + 3lambda - 1$

το οποίο έχει παράγοντα το και ισχύει

Α. Να δειχτεί ότι

Β. Να λυθεί η εξίσωση

Γ. Αν $Qleft( x right) = {left( {x - {rm P}left( x right)} right)^2} + 3 - x$ να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης

2. Β΄Λυκείου/ Γενικής/ Πολυωνυμικές εξισώσεις

Πολυώνυμα 29 Ιούνιος 2013

A. Δίνεται ότι η εξίσωση $2{beta ^2}{x^3} + 2{beta ^2}alpha {x^2} + 4{beta ^2}alpha x + 2{beta ^2}alpha - 2alpha beta + alpha = 0,,,,alpha beta ne 0$ (1)