eMath:a - Γενική

7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση 05 Οκτώβριος 2014

Δίνεται η συνάρτηση $fleft( x right) = ln left( {ln {x^2}} right)$

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β. Να μελετηθεί η μονοτονία της στα διαστήματα

Γ. Να λυθεί η εξίσωση: .

Δ. Να δειχτεί ότι η εξίσωση: έχει δύο ακριβώς λύσεις .

6. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση 07 Ιούνιος 2014

Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύουν και $fleft( x right) = {e^{ - x ,limits^2 - ln fleft( x right) + 2}}$
για κάθε .

Α. Να δείξετε ότι $fleft( x right) = {e^{frac{{ - x ,limits^2 + 2}}{2}}}$ για κάθε .

Β. Να λύσετε την εξίσωση $fleft( x right) + {e^{ - x ,limits^2 + 2}} = 2$ .

Γ. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο , γνησίως φθίνουσα στο

και να βρείτε τη μέγιστη τιμή της.

Δ. Να βρεθεί η μικρότερη τιμή του ώστε να ισχύει για κάθε .

5. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση 09 Φεβρουάριος 2014

Έστω και η εξίσωση ${x^{log frac{x}{{10}}}} - {left( {frac{x}{alpha }} right)^3} = 0$ η οποία έχει λύση την

Α. Να βρεθεί ο α

Β. Αν λύσετε την εξίσωση.

4. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση 09 Φεβρουάριος 2014

Δίνεται η συνάρτηση $f,,mu varepsilon ,,fleft( x right) = x + ln left( {{e^x} - 3} right)$

A. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ${{rm A}_f}$ .

Β. Να δείξετε ότι $fleft( x right) = ln left( {{e^{2x}} - 3{e^x}} right),,,forall x in {{rm A}_f}$ .

Γ. Να δείξετε ότι .

Δ. Να λύσετε την ανίσωση $fleft( x right) > ln 2 + ln left( {{e^x} - 2} right)$ .

3. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση 08 Φεβρουάριος 2014

Δίνεται η εξίσωση: (1) με η οποία έχει δύο άνισες λύσεις στο .

Α. Να δείξετε ότι $a > - frac{1}{4}{ln ^2}2$ .

Β. Αν ${x_1},,,{x_2}$ οι λύσεις της εξίσωσης (1) να δείξετε ότι ${x_1}{x_2} = frac{1}{2}$ .

Γ. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $fleft( x right) = ln x,,ln 2x + frac{1}{4}{ln ^2}2$

τέμνει τον άξονα σε ένα ακριβώς σημείο το οποίο και να βρεθεί.

2. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση 06 Φεβρουάριος 2014

Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και τύπο

$fleft( x right) = left( {1 + fleft( {100} right)} right)log sqrt x + log frac{{fleft( {10} right)}}{{10x}},,,forall x > 0$ όπου .

Α. Να δείξετε ότι

Β. Να δείξετε ότι

Γ. Να δείξετε ότι ${10^{fleft( x right)}} = 10{x^{99}},,,forall x > 0$

Δ. Λύστε την ανίσωση ${10^{2f\left( x \right)}} + 100 \le 20 \cdot {10^{f\left( x \right)}}$

10. Β΄ Λυκείου / Γενικής / Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 20 Απρίλιος 2020

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $f\left( x \right) = \sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x}$ .

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να δειχτεί ότι είναι περιττή

Β. Να δειχτεί ότι η είναι γνησίως φθίνουσα και να υπολογιστεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της.

Γ. Αν Α γωνία τριγώνου και ισχύει $f\left( {\eta \mu {\rm A}} \right) + f\left( {\sigma \upsilon \nu {\rm A}} \right) \ge 0$ τότε να δειχτεί ότι:

1. Η Α είναι αμβλεία

2. $- 1 < \varepsilon \varphi {\rm A} < 0$

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 04 Ιούνιος 2018

Δίνεται το πολυώνυμο ${\rm P}\left( x \right) = {x^4} + \alpha {x^3} + \beta x + \alpha \beta ,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\alpha ,\beta \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha > \beta$ .

Α. Να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης ${\rm P}\left( x \right):\left( {x + \alpha } \right)$ .

Β. Αν ισχύουν ${\rm P}\left( 0 \right) = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm P}\left( 1 \right) = 6$ να υπολογιστούν τα $\alpha ,\beta$ .

Γ. Αν $\alpha = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\beta = 1$ να λύσετε την ανίσωση: ${\rm P}\left( x \right) \ge 2x + 4$ .

Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία $\theta \ne 2\kappa \pi + \frac{\pi }{2},\,\,\,\forall \kappa \in {\rm Z}$ ισχύει ${\rm P}\left( {\eta \mu \theta } \right) - 2\eta \mu \theta < 4$ .