7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Αν για το πολυώνυμο Ρ ισχύουν {\rm P}\left( 0 \right) = 0  και \forall x \in R,\,\,\,{\rm P}\left( x \right) \ge \frac{{{\rm P}\left( 1 \right) - 1 + 2x}}{2}  τότε:

Α.   Να δείξετε ότι  {\rm P}\left( 1 \right) = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm P}\left( x \right) \ge x,\,\,\,\forall x \in R

Β.   Αν \alpha \in \left[ {1,e} \right]  και ισχύει {\rm P}\left( {\ln \alpha } \right) \le {\ln ^2}\alpha  να δείξετε ότι  \alpha = 1 ή \alpha = e

Γ.   Να δείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο f\left( x \right) = {\rm P}\left( x \right) + {\rm P}\left( { - x} \right),\,\,\,x \in R  

     είναι άρτια και έχει ελάχιστη τιμή το μηδέν.

Δ.   Αν {\rm P}\left( x \right) = {x^4} + \alpha \,{x^3} + {x^2} + x,\,\,\,x \in R

   1.   να βρεθεί ο α

   2.   να δείξετε ότι το {x^2}  είναι παράγοντας του f\left( x \right).

6. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Δίνεται η συνάρτηση  f, με τύπο f\left( x \right) = x - \sqrt {1 - x} .
Α.   Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.

Β.   Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α.

Γ.   Να δείξετε ότι \max f = 1
Δ.   Να λύσετε την ανίσωση f\left( {1 - \eta \mu 2x} \right) \ge 1.

5. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο  fleft( x right) = {x^v} + frac{1}{{{x^v}}},,,,forall x in {mathbb{R}^ * },,,,nu in {rm N}  περιττός.

Α.   Να δείξετε ότι  f\left( x \right) \ge 2,\,\,\,\forall x > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( x \right) \le - 2,\,\,\,\forall x < 0.

Β.   Να δείξετε ότι για  alpha in mathbb{R}  η εξίσωση  fleft( x right) = alpha   έχει λύση

       εάν-ν  alpha in left( { - infty , - 2} right] cup left[ {2, + infty } right).

      Ποιο το σύνολο τιμών της  f;

Γ.   Να λύσετε την εξίσωση :  left( {{x^6} + 1} right)left( {{x^4} + {x^2} + 1} right) = 6{x^5}.

 

4. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

 

Δίνεται η συνάρτηση  f  η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο  left[ {0,,, + infty } right)  και έχει σύνολο τιμών το left[ {0,,, + infty } right).

Α.   Να δείξετε ότι  f (0)=0.

Β.   Αν  gleft( x right) = {e^{fleft( x right)}} + fleft( x right),,,x ge 0 ,  να δείξετε ότι  min g = 1.

 

3. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Δίνεται το πολυώνυμο  {rm P}left( x right) = frac{{sigma upsilon nu alpha }}{{eta {mu ^2}alpha }}{x^3} - frac{{sigma upsilon {nu ^2}alpha }}{{eta mu alpha }}x + eta mu alpha  όπου  alpha ne kappa pi ,,,forall kappa in {rm Z}.

Α.   Αν το  {rm P}left( x right)  είναι σταθερό πολυώνυμο

       τότε να δείξετε ότι  left| {{rm P}left( x right)} right| = 1

Β.   Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης  {rm P}left( x right):left( {x - eta mu alpha } right)   είναι  upsilon = sigma upsilon nu alpha

       τότε να δείξετε ότι  alpha = kappa pi + frac{pi }{4},,,,,kappa in {rm Z}.

2. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Δίνεται το πολυώνυμο  Pleft( x right) = frac{{ - Pleft( 0 right)}}{4}{x^3} + 3{x^2} + 2Pleft( 1 right)x - 4.

Α.   Να δείξετε ότι  Pleft( x right) = {x^3} + 3{x^2} - 4.

Β.   Βρείτε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης   Pleft( x right) = 8left( {{x^2} - 1} right).

Γ.   Λύστε την ανίσωση  Pleft( x right) ge 0.

Δ.   Αν για την γωνία  x in left[ {0,pi } right]  ισχύει  eta {mu ^3}x + 3eta {mu ^2}x - 4 ge 0  τότε να δείξετε ότι  x = frac{pi }{2}.

1. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο  fleft( x right) = left( {2x - 3pi } right)sigma upsilon nu x,,,,x in left[ {pi ,,,frac{{3pi }}{2}} right] .

Α.   Να δείξετε ότι  fleft( x right) ge 0,,,forall x in left[ {pi ,,,frac{{3pi }}{2}} right] .

Β.   Να δείξετε ότι η  f   είναι γνησίως φθίνουσα στο  left[ {pi ,,,frac{{3pi }}{2}} right]   και ότι έχει μέγιστη τιμή το π  και ελάχιστη το 0 .

Γ.   Να δείξετε ότι   sigma upsilon nu x ge frac{pi }{{2x - 3pi }},,,forall x in left[ {pi ,,,frac{{3pi }}{2}} right) . Πότε ισχύει το ‘ = ’;

Δ.   Αν  alpha ,beta in left[ {pi ,,,frac{{3pi }}{2}} right)   και ισχύει  alpha + beta = frac{{31pi }}{{12}}   τότε να δείξετε ότι:  frac{1}{{sigma upsilon nu alpha }} + frac{1}{{sigma upsilon nu beta }} < - ,,frac{5}{6} .

Υποκατηγορίες

Συστήματα

Επαναληπτικές