8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Έστω f:R \to R με f γνησίως φθίνουσα στο \left( { - \infty ,0} \right)

και για κάθε x \in R ισχύει f\left( {{x^2}} \right) = 2f\left( x \right). Να δειχτεί ότι:

Α.   Η {C_f}  περνά από την αρχή των αξόνων.

Β.   Η f είναι άρτια και να υπολογίσετε f\left( 1 \right) και f\left( { - 1} \right) .

Γ.   Η f  είναι γνησίως αύξουσα στο \left( {0, + \infty } \right).

Δ.  

   1.   Για κάθε x \in \left( {0,1} \right) , f\left( {{x^2}} \right) < f\left( x \right) < f\left( {\sqrt x } \right)

   2.  f\left( x \right) \le 0, για κάθε x \in \left[ { - 1,1} \right].

x \in \left[ { - 1{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} 1} \right]

7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:R \to R  και για κάθε x \in R  ισχύει f\left( x \right) > 0  και g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( { - x} \right) .

Να αποδειχτεί ότι:

Α.   η f  δεν είναι περιττή ενώ η g  είναι περιττή

Β.   αν g\left( x \right) = \alpha ,\,\,\,\forall x \in R  τότε η f  είναι άρτια

Γ.   αν η f  είναι γνησίως φθίνουσα τότε:

   1.   η g  είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   xg\left( x \right) \le 0,\,\,\,\forall x \in R.

6. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση  f  περιττή και γνησίως αύξουσα στο R.

Α.   Να δείξετε ότι  fleft( 0 right) = 0,,,kappa alpha iota ,,,x,fleft( x right) > 0,,,,forall x in {R^ * }

Β.   Αν  gleft( x right) = {x^2} - fleft( 1 right)x + fleft( { - 1} right)fleft( 1 right),,,,x in R  τότε να δείξετε ότι

   1.   Η γραφική παράσταση της  g  τέμνει τον άξονα  x’x  σε δύο διαφορετικά σημεία.

   2.   gleft( x right) = {left( {x - frac{{fleft( 1 right)}}{2}} right)^2} - frac{{5{f^2}left( 1 right)}}{4},,,,forall x in R

   3.   Αν η ελάχιστη τιμή της  g  είναι η  -5  τότε   fleft( { - 1} right) = - 2

 Γ.   Αν για κάθε  x in R*   ισχύει   frac{{fleft( x right)}}{x} + 4frac{x}{{fleft( x right)}} le 4   να βρείτε τον τύπο της  f.

5. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση  f:A to mathbb{R}  με τύπο  fleft( x right) = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}{sqrt { - x} + 1}&{frac{{ - 3}}{{{x^2}}} - frac{1}{{3x}}}{3x}&{sqrt { - x} - 1}end{array}} right|.

Α.   Να βρείτε το πεδίο ορισμού της  A και να δείξετε ότι   fleft( x right) = frac{9}{x} - x,,,,forall x in {rm A}.

Β.   Να δείξετε ότι η  f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Γ.   Να δείξετε ότι η  f είναι γνησίως φθίνουσα στο  A.

Δ.   Να λύσετε την ανίσωση  fleft( { - sqrt { - x} } right) > fleft( x right).

4. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση  f:A to mathbb{R}  με τύπο  fleft( x right) = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}{sqrt { - x} + 1}&{frac{{ - 3}}{{{x^2}}} - frac{1}{{3x}}}{3x}&{sqrt { - x} - 1}end{array}} right| + frac{{10x}}{9}.

Α.   Να βρείτε το πεδίο ορισμού της  A  και να δείξετε ότι  fleft( x right) = frac{9}{x} + frac{x}{9},,,,forall x in {rm A}.

Β.   Να δείξετε ότι η  f  δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Γ.   Να δείξετε ότι  {f_{max }} = - 2.

Δ.   Να λύσετε την εξίσωση  fleft( x right) = - 2 + {(x + 9)^2}.

3. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση   f:A to mathbb{R}   με τύπο    fleft( x right) = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}{sqrt {x - 1} }&2{ - 1}&{sqrt {x + 1} }end{array}} right|.

Α.   Να βρείτε το πεδίο ορισμού της  A  και να δείξετε ότι   fleft( x right) = sqrt {{x^2} - 1} + 2,,,,forall x in {rm A}.

Β.   Να δείξετε ότι η  f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Γ.   Να δείξετε ότι η  f είναι γνησίως αύξουσα στο  A  και ότι  {f_{min }} = 2.

Δ.   Να δείξετε ότι   fleft( {{x^2}} right) ge fleft( x right),,,,forall x in {rm A}.

 

2. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο   fleft( x right) = sqrt { - x} - x + 1 .

Α.   Βρείτε το πεδίο ορισμού της  {A_f}.

Β.   Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της  περνά από το  {rm M}left( { - 1,3} right).

Γ.    Να δείξετε ότι  xfleft( x right) le 0 για κάθε  x in {A_f}.

Δ.   Να δείξετε ότι f  γνησίως φθίνουσα στο  {A_f}  και ότι έχει ελάχιστη τιμή το 1.

Ε.   Λύστε την ανίσωση  sqrt { - x} - x < 2.

1. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Α.   Δίνεται η συνάρτηση με τύπο  fleft( x right) = x + frac{1}{x},,,,x in {R^*}. Να δείξετε ότι:

   1.   Η  {C_f}  είναι συμμετρική ως προς το  {rm O}left( {0,0} right)

   2.   Για κάθε  {x_1},,,{x_2} in {R^*},,,mu varepsilon ,,,{x_1} ne {x_2}  ισχύει:  frac{{fleft( {{x_2}} right) - fleft( {{x_1}} right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = frac{{{x_1}{x_2} - 1}}{{{x_1}{x_2}}} .

   3.   f  γνησίως αύξουσα στο  left[ {1,,, + infty } right).

   4.   Για κάθε  x > 0:,,,fleft( x right) ge 2 . Πότε ισχύει το ίσον;

Β.   Αν   gleft( x right) = frac{{left( {{x^2} + 1} right)left( {x + 1} right)}}{{xsqrt x }},,,,x > 0,  τότε να δείξετε ότι:

   1.   Για κάθε x > 0:  gleft( x right) = fleft( x right) cdot fleft( {sqrt x } right)

   2.   min g = 4

12. Β΄ Λυκείου / Γενικής / Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

A.   Να αποδείξετε ότι:  \frac{1}{{\eta \mu x}} - \eta \mu x = \sigma \upsilon \nu x \cdot \sigma \varphi x,\,\,\,x \ne \kappa \pi ,\,\,\,\forall \kappa \in Z .

B.   Αν  \sigma \upsilon \nu x \cdot \sigma \varphi x = \frac{8}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x \in \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right)  τότε:

   1.   Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας .

   2.   Να δείξετε ότι: \frac{{\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) \cdot \varepsilon \varphi \left( {\pi - x} \right)}}{{3\eta \mu \left( {\pi + x} \right) + 2}} = - \frac{1}{3}

Υποκατηγορίες

Συστήματα

Επαναληπτικές