Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left[ {0,1} \right] \to \left[ {0,1} \right]  με f\left( 0 \right) = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( 1 \right) = 1.

Αν η f  είναι κυρτή να αποδειχτούν

Α.  f'\left( x \right) > 0,\,\,\,\forall x \in \left( {0,1} \right]

Β.  f'\left( 1 \right) > 1

Γ.  x\,f'\left( x \right) > f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in \left( {0,1} \right]

Δ.  f\left( x \right) < x,\,\,\,\forall x \in \left( {0,1} \right)

Ε.  \int_\alpha ^{1 - \alpha } {f\left( t \right)\,} dt + \alpha  < \frac{1}{2},\,\,\,\forall \alpha  \in \left( {0,\frac{1}{2}} \right)

Δίνεται η συνάρτηση f:R \to R  με f\left( x \right)\,\,ln\,f\left( x \right) = {e^x},\,\,\,\forall \,x \in R . Να αποδειχτούν

Α.  f\left( x \right) > 1,\,\,\,\forall \,x \in R

Β.   f  γνησίως αύξουσα και f\left( 1 \right) = e

Γ.  {f^2}\left( x \right) > {e^x},\,\,\,\forall \,x \in R

Δ.   Αν f  συνεχής να βρεθεί η {f^{ - 1}}

E.   αν f  παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο να αποδειχτεί ότι \int_0^1 {{e^x}\,} ln\,f\left( x \right)dx = e + 1 - f\left( 0 \right) - \frac{1}{{f\left( 0 \right)}}

Δίνεται η κοίλη συνάρτηση  f:R \to R  με  {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{f\left( x \right) + x}}{{{x^2} + x}} = 2

Α.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο {\rm M}\left( { - 1,f\left( { - 1} \right)} \right)

      είναι η  \varepsilon :y =  - 3x - 2
Β.   Να υπολογιστεί το όριο  {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right)
Γ.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει {x_o} < 0,\,\,\,f\left( {{x_o}} \right) = 0

Δ.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση  2f\left( x \right) + x\,f'\left( x \right) =  - \frac{1}{x}  έχει αρνητική λύση
Ε.   Αν το χωρίο Ω που περικλείεται από την {C_f}, την ευθεία ε του ερωτήματος Γ1 και τον άξονα των y

      έχει εμβαδό {\rm E}\left( \Omega  \right) = \frac{5}{2} τότε να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \int_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} \,dx

Έστω οι μιγαδικοί  {z_1} = alpha  + beta i,,,kappa alpha iota ,,,{z_2} = gamma  + delta i με  alpha ,beta  > 0,,,,gamma ,delta  < 0  και  left| {{z_1}} right| = left| {{z_2}} right| = 1

Δίνεται και η εξίσωση   {w^2} - 2sqrt 2 ,w + {left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|^2} = 0,,,,,,left( 1 right).  Να αποδειχτεί ότι:

Α.   left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right| = left| {{z_1} - {z_2}} right|

Β.   sqrt 2  < left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right| le 2

Γ.   η εξίσωση   (1)  δεν έχει πραγματικές λύσεις

Δ.   Αν  {w_1},{w_2}  οι λύσεις της  (1) τότε   left| {{w_1}} right| = left| {{w_2}} right| = left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|

Ε.   Η εξίσωση  left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|x = left( {3 + sqrt 2 } right)x - 3sqrt 2    έχει μία τουλάχιστον λύση στο  διάστημα  left( {0,left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|} right)

Δίνεται η συνάρτηση    fleft( x right) = left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{{e^{frac{{ - 1}}{x}}}left( {frac{3}{x} + frac{2}{{{x^2}}}} right),,,,x ne 0}{,,,0,,,,x = 0}end{array}} right.

A.   Να βρεθούν οι ασύμπτωτές της

B.   Να μελετηθεί η μονοτονία της

Γ.   Να δειχτεί ότι η  f  είναι παραγωγίσιμη στο  left[ {0, + infty } right)  με  συνεχή f' σε αυτό.

Δ.   Να δειχτεί ότι   {lim }limits_{alpha  to  + infty } intlimits_{alpha  + 1}^alpha  {frac{{ - 3{x^2} - x + 2}}{{{x^2}left( {3x + 2} right)}}} ,dx = 0

Ε.   Να δειχτεί ότι forall x < 0  υπάρχει  xi  in left( { - infty , - 1} right) cup left( { - 1,0} right)   τέτοιο ώστε

      left( {x + 1} right)fleft( xi  right) = {x^2}fleft( x right) + 3intlimits_{ - 1}^x {{e^{ - ,frac{1}{t}}}} dt.

Ζ.    Να δειχτεί ότι  forall x <  - 1  ισχύει:   left( {x + 1} right)fleft( x right) < intlimits_{ - 1}^x {fleft( t right),} dt <  - eleft( {x + 1} right)

Δίνεται η συνάρτηση    fleft( x right) = intlimits_2^x {frac{{ln t}}{{1 + {t^2}}}} ,dt,,,,,x > 0

A.   Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

B.   Να αποδειχτεί ότι

   1.   η  f  έχει μοναδικό σημείο καμπής  left( {{x_0},fleft( {{x_0}} right)} right).

   2.   f'left( {{x_0}} right) = frac{1}{{2{x_0}^2}}

   3.   intlimits_{frac{1}{2}}^1 {frac{{ln t}}{{1 + {t^2}}}} ,dt = intlimits_2^1 {frac{{ln t}}{{1 + {t^2}}}} ,dt

   4.    η εξίσωση  fleft( x right) = 0  έχει ακριβώς δύο λύσεις στο R

   5.   υπάρχουν   {xi _1},{xi _2} in left( {0, + infty } right):,,,,,,f'left( {{xi _1}} right) + 2f'left( {{xi _2}} right) = 0