Δίνεται η παραγωγίσιμη και άρτια συνάρτηση   f:R \to R  με  f\left( 0 \right) = \sqrt e  και  {e^{f\,'\left( x \right)}} - {e^{x\,f\left( x \right)}} \ge x\,f\left( x \right) - f\,'\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R

Α.   Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της  {C_f} στο σημείο  \left( {0,f\left( 0 \right)} \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι:  f\,'\left( x \right) \ge x\,f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R

Γ.   Να βρεθεί ο τύπος της f

Α.   Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση   f\left( x \right) = x \cdot {e^x},\,\,\,\,x \in R

Β.   Να λυθεί η ανίσωση:  {e^{e\,f\left( x \right) + 1}} \ge  - \frac{1}{{e\,f\left( x \right)}}

Γ.   Έστω η συνάρτηση   g\left( x \right) =  {{{\left( {x + 1} \right)}^{\alpha  + 1}}}\limits_{\,\,\,} {e^{x + 2}} +  {{{\left( { - 1} \right)}^\alpha }}\limits_{}  ,  x \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha  \in {\rm N}  η οποία διατηρεί πρόσημο  

       στο σύνολο  {\rm A} = \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - 2, + \infty } \right) . Να υπολογιστεί ο α.

Α.   Δίνεται η συνάρτηση  g\left( x \right) = ln\left( {{e^x} + 1} \right) - x,\,\,\,\forall x \in R

   1.   Να βρεθεί το  g\left( {\rm A} \right)

   2.   Να βρεθεί η  {g^{ - 1}}

Β.   Για κάποια συνάρτηση f  ισχύει f'\left( {g\left( x \right)} \right) = {e^x},\,\,\,\forall x \in R  και  f\left( {ln2} \right) =  - ln2

   1.   Να βρεθεί η συνάρτηση  f

   2.   Να αποδειχτεί ότι  f\left( x \right) + ln4 \le x,\,\,\,\forall x > 0

   3.   Να αποδειχτεί ότι  \left| {f\left( x \right)} \right| > g\left( x \right),\,\,\,\forall x > 0

   4.   Δίνεται ότι ισχύει  f\left( x \right) + x \le {e^{\alpha x}} - {2^\alpha },\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right),\,\,\,\alpha  \in R . Να αποδειχτεί ότι  \alpha  = 1

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = ln\left( { - x} \right) + {e^{ - x}} - e,\,\,\,\forall \,x < 0.

Α.   Να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα.

Β.   Να λυθεί η ανίσωση:  {e^x} \cdot ln\left( { - x} \right) + 1 < {e^{x + 1}}.

Γ.   Δίνεται και η συνεχής συνάρτηση g  για την οποία ισχύει  {g^2}\left( x \right) = f\left( x \right),\,\,\,\forall \,x \in {{\rm A}_g}.

   1.   Να βρεθεί το  {{\rm A}_g}.

   2.   Να βρεθούν οι δυνατοί τύποι της  g.

   3.   Αν  {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{f\left( x \right) - g\left( x \right)}}{{x + 1}} =  + \infty    να βρεθεί ο τύπος της  g.

Α.   Να μελετηθεί η μονοτονία των συναρτήσεων  g\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 2x + 1\,,\,\,\,x \in R

       και  h\left( x \right) = {e^{ - x}} - x,\,\,\,x \in R  και να βρεθεί το  h\left( R \right)

Β.   Δίνεται η συνάρτηση f  με  {f^3}\left( x \right) + {f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + 1 = {e^{ - x}} - x,\,\,\,\forall x \in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   Να μελετηθεί το πρόσημο της  f

   3.   Αν  f\left( {{x_1}} \right) = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( {{x_2}} \right) =  - 2

       α)   Να λυθεί η ανίσωση:  4{e^x}f\left( x \right) + x{e^x} + {e^x} > 1

       β)   Nα αποδειχτεί ότι:  {x_1} <  - 1

Δίνεται η κυρτή συνάρτηση f:R \to R  και ότι υπάρχει \alpha  \in R  με  f'\left( \alpha  \right) = 0.

Δίνεται και η συνάρτηση g\left( x \right) = f\left( {{e^x}} \right).

Α.   Να μελετηθούν η μονοτονία και τα ακρότατα της f.

Β.   Αν  \alpha  \le 0  να δειχτεί ότι η συνάρτηση g  είναι κυρτή

Γ.   Αν  \alpha  > 0

   1.   Να λυθεί η ανίσωση g'\left( x \right) < 0.

   2.   Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας της {C_g} στο σημείο της \left( {{x_o},g\left( {{x_o}} \right)} \right),\,\,\,{x_o} < \,\,\ln \alpha

   3.   Να αποδειχτεί ότι η g δεν είναι κυρτή.

   4.   Να αποδειχτεί ότι  {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g'\left( x \right) = 0

συμπέρασμαg\,\,\,\kappa \upsilon \rho \tau \eta \,\, \Leftrightarrow \,\,\,\alpha  \le 0

Δίνονται οι συναρτήσεις  f,g  δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με  fleft( 1 right) = f'left( 1 right)

και   {lim }limits_{h to 0} frac{{gleft( {fleft( x right) + h} right) + gleft( {fleft( x right) - h} right) - 2gleft( {fleft( x right)} right)}}{{{h^2}}} le x,f'left( x right),,,,forall x in R  

Α.   Να αποδειχτεί ότι

   1.   g''left( x right) =  -  {lim }limits_{h to 0} frac{{g'left( {x - h} right) - g'left( x right)}}{h} 

   2.   {lim }limits_{h to 0} frac{{gleft( {fleft( x right) + h} right) + gleft( {fleft( x right) - h} right) - 2gleft( {fleft( x right)} right)}}{{{h^2}}} = g''left( {fleft( x right)} right) 

Β.   Αν επιπλέον  g''left( x right) = x,,,,forall x in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι  f''left( 1 right) = 0

   2.   Για κάθε  x > 1  δείξτε ότι  fleft( x right) ge x,fleft( 1 right)

 

Δίνεται η συνάρτηση   f:mathbb{R} to left( {0,,, + infty } right)   για την οποία ισχύει:  ln fleft( x right) = {e^{x - ln fleft( x right)}},,,,forall x in mathbb{R}.

Να δείξετε ότι:

Α.   fleft( x right) > 1,,,,forall x in mathbb{R}.

Β.   f  γνησίως αύξουσα στο  mathbb{R}.

Γ.   fleft( 1 right) < {left[ {fleft( 0 right)} right]^e} 

Δ.   fleft( x right) > {e^{frac{x}{2}}},,,,forall x in mathbb{R}   (από εφαρμογή του σχολικού βιβλίου ισχύει:  ln x le x - 1,,,forall x > 0). 

Ε.    {lim }limits_{x to  + infty } fleft( x right) =  + infty

Ζ.    {lim }limits_{x to  + infty } frac{{{e^x}}}{{{f^2}left( x right)}} = 0 . 

Η.    {lim }limits_{x to  + infty } frac{{ln x}}{{fleft( x right)}} = 0 .

Θ.    {lim }limits_{x to  + infty } {left( {frac{{ln x}}{{fleft( x right)}}} right)^{frac{{ln x}}{{fleft( x right)}}}} = 1.

 

Δίνεται συνάρτηση  f   δύο φορές παραγωγίσιμη στο R  με  2xf'left( x right) + alpha {x^2}f''left( x right) = eta mu x,,,forall x in R  όπου  alpha  in R.

Αν η f'' είναι συνεχής στο  {x_o} = 0  να αποδειχτούν

Α.   f'left( 0 right) = frac{1}{2}

Β.   Για  alpha  = 1   να αποδειχτούν

   1.   f'left( x right) = frac{{1 - sigma upsilon nu x}}{{{x^2}}},forall x in {R^ * }

   2.   ο άξονας  x   είναι ασύμπτωτη της   f ΄  στο  +∞

   3.   fleft( x right) ge fleft( 0 right),,,forall x in left( {0, + infty } right)