9. Γ΄ Λυκείου / Κατεύθυνση / Θεωρήματα Παραγώγων

Α.   Να μελετηθεί η μονοτονία των συναρτήσεων  g\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 2x + 1\,,\,\,\,x \in R

       και  h\left( x \right) = {e^{ - x}} - x,\,\,\,x \in R  και να βρεθεί το  h\left( R \right)

Β.   Δίνεται η συνάρτηση f  με  {f^3}\left( x \right) + {f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + 1 = {e^{ - x}} - x,\,\,\,\forall x \in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   Να μελετηθεί το πρόσημο της  f

   3.   Αν  f\left( {{x_1}} \right) = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( {{x_2}} \right) =  - 2

       α)   Να λυθεί η ανίσωση:  4{e^x}f\left( x \right) + x{e^x} + {e^x} > 1

       β)   Nα αποδειχτεί ότι:  {x_1} <  - 1