11. Γ΄ Λυκείου / Κατεύθυνση / Θεωρήματα Παραγώγων

Α.   Δίνεται η συνάρτηση  g\left( x \right) = ln\left( {{e^x} + 1} \right) - x,\,\,\,\forall x \in R

   1.   Να βρεθεί το  g\left( {\rm A} \right)

   2.   Να βρεθεί η  {g^{ - 1}}

Β.   Για κάποια συνάρτηση f  ισχύει f'\left( {g\left( x \right)} \right) = {e^x},\,\,\,\forall x \in R  και  f\left( {ln2} \right) =  - ln2

   1.   Να βρεθεί η συνάρτηση  f

   2.   Να αποδειχτεί ότι  f\left( x \right) + ln4 \le x,\,\,\,\forall x > 0

   3.   Να αποδειχτεί ότι  \left| {f\left( x \right)} \right| > g\left( x \right),\,\,\,\forall x > 0

   4.   Δίνεται ότι ισχύει  f\left( x \right) + x \le {e^{\alpha x}} - {2^\alpha },\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right),\,\,\,\alpha  \in R . Να αποδειχτεί ότι  \alpha  = 1