12. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Α.   Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση   f\left( x \right) = x \cdot {e^x},\,\,\,\,x \in R

Β.   Να λυθεί η ανίσωση:  {e^{e\,f\left( x \right) + 1}} \ge  - \frac{1}{{e\,f\left( x \right)}}

Γ.   Έστω η συνάρτηση   g\left( x \right) =  {{{\left( {x + 1} \right)}^{\alpha  + 1}}}\limits_{\,\,\,} {e^{x + 2}} +  {{{\left( { - 1} \right)}^\alpha }}\limits_{}  ,  x \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha  \in {\rm N}  η οποία διατηρεί πρόσημο  

       στο σύνολο  {\rm A} = \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - 2, + \infty } \right) . Να υπολογιστεί ο α.