Δίνεται συνάρτηση f:\left( {0,\pi } \right) \to R  η οποία δέχεται εφαπτόμενη ευθεία (ε)

στο σημείο της {\rm A}\left( {\alpha ,f\left( \alpha  \right)} \right),\,\,\,\alpha  \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right).

Αν η ευθεία (ε) σχηματίζει με τον άξονα x'x  γωνία \alpha

Α.   Να αποδειχτεί ότι   {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{f\left( x \right)\sigma \upsilon \nu x - f\left( \alpha  \right)\sigma \upsilon \nu \alpha }}{{x - \alpha }} = \eta \mu \alpha  \cdot \left( {1 - f\left( \alpha  \right)} \right)

Β.   Αν  {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{x\sigma \upsilon \nu x - \alpha \sigma \upsilon \nu \alpha }}{{\eta \mu x - \eta \mu \alpha }} = 1 + \alpha   και   {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{f\left( x \right)\sigma \upsilon \nu x - f\left( \alpha  \right)\sigma \upsilon \nu \alpha }}{{x - \alpha }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

   1.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha  = \frac{{3\pi }}{4}

   2. Να αποδειχτεί ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται και στην  g\left( x \right) = {\left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right)^2} - x + \frac{{3\pi }}{4}.

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc}
{\sqrt {{x^2} - x + 4}  + x,\,\,\,x < 0}\\
{\eta \mu x - \frac{x}{4} + \alpha ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0}
\end{array}} \right.,  \alpha  \in R.

Α.   Να υπολογιστεί το όριο   {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι  \forall x < 0,\,\,\,f'\left( x \right) > 0

Γ.   Αν η ευθεία  y = \lambda x + 3  εφάπτεται στην {C_f} στο σημείο  \left( {\frac{\pi }{2},f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)

   1.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha  = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\lambda  =  - \frac{1}{4}

   2.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση f  είναι παραγωγίσιμη στο  {x_o} = 0.

Δίνεται η συνάρτηση  f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt { - {x^3}} \,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0\\
 - \sigma \upsilon \nu x + 1,{\rm{ }}0 \le x \le \pi 
\end{array} \right.

Α.   Να αποδειχτεί ότι  f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc}{ - \frac{3}{2}\sqrt { - x} \,\,\,,\,\,\,x < 0}\\{\eta \mu x\,\,\,,\,\,\,\,\,\,0 \le x \le \pi }\end{array}} \right.

Β.   Να βρεθεί ο αριθμός β  αν η ευθεία  \varepsilon :y = \beta   είναι εφαπτόμενη της  {C_f}.

Γ.   Να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει δεύτερη παράγωγος της f  στο 0.

Δ.   Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης  g\left( x \right) = f'\left( x \right) - f\left( x \right).

Δίνεται συνάρτηση  f:R \to R   με  f\left( { - 1} \right) = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( 1 \right) = 2 . Αν f  παραγωγίσιμη στα {x_1} =  - 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{x_2} = 1

Α.   Να αποδειχτεί ότι   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 2x}}{{x - 1}} = f'\left( 1 \right) - 2

Β.   Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  g:R \to R  με  {x^2}\,g\left( x \right) - {f^2}\left( x \right) = g\left( x \right) - 2x\,f\left( x \right) . Να
      αποδειχτεί ότι  g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{f^2}\left( x \right) - 2x\,f\left( x \right)}}{{{x^2} - 1}},x \ne  \pm 1\\ - f'\left( { - 1} \right),x =  - 1\\f'\left( 1 \right) - 2,x = 1\end{array} \right. 

Γ.   Δίνεται ο τύπος της συνάρτησης  f:\,\,\,f\left( x \right) = {e^{{x^2} - 1}} + x,\,\,\,\forall x \in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση f\left( x \right) = 0  έχει τουλάχιστον μία λύση {x_{^o}}  στο διάστημα \left( { - \frac{1}{2},0} \right) 

   2.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση  \frac{{f'\left( x \right) + 2{x^2} - 1}}{{2x + 1}} =  - x  έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα \left( { - \frac{1}{2},{x_o}} \right)
          όπου {x_{^o}}  η λύση του ερωτήματος  Γ1.

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = 2\alpha {x^2} + x - 1,\,\,\,\alpha  \in {R^ * },\,\,\,\forall x \in R   η οποία έχει παράγωγο συνάρτηση ευθείας

που εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f  σε κάποιο σημείο της  {\rm M}\left( {{x_o},f\left( {{x_o}} \right)} \right)

Α.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha  =  - \frac{1}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{x_o} = 2

Β.   Δίνονται οι συναρτήσεις  g\left( x \right) = \ln x + 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,h\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right),\,\,\,\forall x > 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι  x\,h''\left( x \right) + h'\left( x \right) + \frac{1}{x} = 0,\,\,\,\forall x > 0

   2.   h\left( {\rm A} \right) = \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right]

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:R \to R  με  f\left( x \right)g\left( x \right) = x - 1,\,\,\,\forall x \in R.

Αν η f  είναι παραγωγίσιμη στο 1

Α.   να αποδειχτεί ότι f\left( 1 \right) \ne 0\,\,\, \vee \,\,\,g\left( 1 \right) \ne 0

Β.   Δίνεται f\left( 1 \right) \ne 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 1

   2.  Έστω {\varepsilon _1},{\varepsilon _2}  οι εφαπτόμενες ευθείες των  {C_f},\,\,\,{C_g} στα σημεία \left( {1,f\left( 1 \right)} \right),\,\,\,\left( {1,g\left( 1 \right)} \right) αντίστοιχα.

         Αν   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{f^2}\left( x \right) - 2x - {f^2}\left( 1 \right) + 2}}{{x - 1}} = 0  να αποδειχτεί ότι  {\varepsilon _1}//{\varepsilon _2}.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R με   {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - x}}{x} = \alpha  \in R .

Α.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι παραγωγίσιμη στο 0

Β.   Αν f'\left( 0 \right) = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( x \right) \ne x,\,\,\,\forall x > 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει  {x_o} > 0  τέτοιο ώστε f\left( {{x_o}} \right) > {x_o}

   2.   Να υπολογιστεί το όριο  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| {2f\left( x \right) - x - \eta \mu x} \right|}}{x}

   3.   Να αποδειχτεί ότι  f({\rm A}) = \left[ {0, + \infty } \right)

Δίνεται συνάρτηση f:\left[ {1, + \infty } \right) \to R  γνησίως αύξουσα με f\left( {{x^2}} \right) = 2f\left( x \right),\,\,\,\forall x \ge 1

 και υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο   {\lim }\limits_{x \to {x_{\,o\,}}} f\left( x \right),\,\,\,\forall {x_{\,o\,}} \ge 1.

Α.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι συνεχής

Β.   Να αποδειχτεί ότι  f\left( {\rm A} \right) = \left[ {0, + \infty } \right)

Γ.   Αν  f'\left( 1 \right) = 1  να υπολογιστεί το όριο  {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\,f\left( {{x^2}} \right) - \ln \left( {f\left( x \right) + 1} \right)}}{{x - 1}}

Δ.   Αν f  παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο,  \frac{1}{2} < f\left( 2 \right) < 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f'\left( 2 \right) = \frac{1}{2} , να αποδειχτεί ότι υπάρχει σημείο της  {C_f}  στο οποίο δέχεται εφαπτόμενη ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Δίνεται η συνάρτηση  f:left[ {0, + infty } right) to left( {0, + infty } right)  για την οποία  υπάρχει το   {lim }limits_{x to 0} frac{{fleft( x right) - 1}}{x} = alpha  in R

Αν  gleft( x right) = ln fleft( x right),,,,x ge 0  και ισχύει  fleft( x right)gleft( x right) = x,,,,forall x in left[ {0, + infty } right)

Α.  Να δειχτεί ότι  fleft( x right) ge 1,,,,forall x ge 0

Β.  Να δειχτεί ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0

Γ.  Να δειχτεί ότι  g'left( 0 right) = 1  και  f'left( 0 right) = 1

Δ.  Δίνεται ότι η  f  είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο  {x_0} in left[ {0, + infty } right).

     Να δειχτεί ότι η εφαπτομένη στο σημείο  {rm M}left( {{x_0},fleft( {{x_0}} right)} right)

     τέμνει τον άξονα x'x και μάλιστα σε σημείο με τετμημένη   - fleft( {{x_0}} right).

Ε.  Δίνεται ότι  η συνάρτηση  f  είναι παραγωγίσιμη και  fleft( {2{e^2}} right) = {e^2}

     Να δειχτεί ότι υπάρχει εφαπτομένη της  {C_f}  η οποία διέρχεται από το σημείο left( {0,2} right).