5. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = 2\alpha {x^2} + x - 1,\,\,\,\alpha  \in {R^ * },\,\,\,\forall x \in R   η οποία έχει παράγωγο συνάρτηση ευθείας

που εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f  σε κάποιο σημείο της  {\rm M}\left( {{x_o},f\left( {{x_o}} \right)} \right)

Α.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha  =  - \frac{1}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{x_o} = 2

Β.   Δίνονται οι συναρτήσεις  g\left( x \right) = \ln x + 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,h\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right),\,\,\,\forall x > 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι  x\,h''\left( x \right) + h'\left( x \right) + \frac{1}{x} = 0,\,\,\,\forall x > 0

   2.   h\left( {\rm A} \right) = \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right]