6. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Παράγωγος Βασικά

Δίνεται συνάρτηση  f:R \to R   με  f\left( { - 1} \right) = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( 1 \right) = 2 . Αν f  παραγωγίσιμη στα {x_1} =  - 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{x_2} = 1

Α.   Να αποδειχτεί ότι   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 2x}}{{x - 1}} = f'\left( 1 \right) - 2

Β.   Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  g:R \to R  με  {x^2}\,g\left( x \right) - {f^2}\left( x \right) = g\left( x \right) - 2x\,f\left( x \right) . Να
      αποδειχτεί ότι  g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{f^2}\left( x \right) - 2x\,f\left( x \right)}}{{{x^2} - 1}},x \ne  \pm 1\\ - f'\left( { - 1} \right),x =  - 1\\f'\left( 1 \right) - 2,x = 1\end{array} \right. 

Γ.   Δίνεται ο τύπος της συνάρτησης  f:\,\,\,f\left( x \right) = {e^{{x^2} - 1}} + x,\,\,\,\forall x \in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση f\left( x \right) = 0  έχει τουλάχιστον μία λύση {x_{^o}}  στο διάστημα \left( { - \frac{1}{2},0} \right) 

   2.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση  \frac{{f'\left( x \right) + 2{x^2} - 1}}{{2x + 1}} =  - x  έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα \left( { - \frac{1}{2},{x_o}} \right)
          όπου {x_{^o}}  η λύση του ερωτήματος  Γ1.