Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:\left( { - \frac{\pi }{2},0} \right] \to R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,f\left( x \right) = \varepsilon \varphi x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,g\left( x \right) = \sqrt { - x}  .

Έστω το τυχαίο σημείο {\rm M}\left( {x,g\left( x \right)} \right),\,\,\,x \ne 0  της γραφικής παράστασης της g και ότι η κάθετη από το Μ στον άξονα των τετμημένων τέμνει αυτόν στο σημείο Α και την γραφική παράσταση της f στο Β. Αν d\left( x \right)  είναι η απόσταση του σημείου Μ από το σημείο \Gamma \left( { - 1,0} \right) και {\rm E}\left( x \right) το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ (Ο η αρχή των αξόνων) τότε:

Α.   Να αποδειχτεί ότι d\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + x + 1} ,\,\,\,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right) και {\rm E}\left( x \right) = \frac{{x\,\varepsilon \varphi x}}{2},\,\,\,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει σημείο Μ τέτοιο ώστε d\left( x \right) = {\rm E}\left( x \right) .

Γ.   Να υπολογιστεί το όριο   {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{d\left( x \right) + {\rm E}\left( x \right) - 1}}{x}

Δ.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση \varphi \left( x \right) = d\left( x \right) + {\rm E}\left( x \right) παίρνει την τιμή 1 τουλάχιστον μία φορά στο διάστημα \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right).

Δίνεται η συνάρτηση  f:R \to R  για την οποία ισχύουν τα εξής:

            • f  συνεχής στο  R - \left\{ { - 2, - 1} \right\}

            • f\left( x \right) > {x^2} + 2x,\,\,\,\forall x \in R

            •  {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{f\left( x \right)}}{{x + 2}} = \alpha  \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{f\left( x \right) + 1}}{{x + 1}} = \beta  \in R

            • Η εξίσωση f\left( x \right) = 0  έχει μοναδική λύση {x_o}

Να αποδειχτούν

Α.  \alpha  =  - 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\beta  = 0

Β.   η συνάρτηση f  δεν είναι συνεχής στο \left\{ { - 1, - 2} \right\}

Γ.   {x_o} \in \left( { - 1,0} \right)

Δ.   η εξίσωση f\left( x \right) = x  έχει λύση και κάθε λύση της ανήκει στο διάστημα \left( { - 1,0} \right).

Δίνεται η συνάρτηση f:\left( { - \infty ,2} \right) \to R  με f\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{x - 2}},\,\,\,\forall x < 2

Α.   Να δειχτεί ότι η  f είναι γνησίως φθίνουσα

Β.   Να λυθεί η ανίσωση: f\left( {2x} \right) < \frac{1}{2}

Γ.   Να βρεθεί συνάρτηση g αν ισχύει  f\left( {g\left( x \right)} \right) = \frac{{\ln \left| x \right|}}{{\ln \left| x \right| - 1}},\,\,\,\forall x \in \left( { - e,0} \right) \cup \left( {0,e} \right)

Δ.   Να λυθεί η εξίσωση: \left( {f \circ g} \right)\left( {{e^{{x^2}}}} \right) = \frac{{2x}}{{x + 1}}

Ε.   Να λυθεί στο \left( { - \infty ,0} \right]  η ανίσωση:  \eta \mu f\left( x \right) \ge \frac{{\left( {\eta \mu f\left( x \right) - 2} \right)f\left( x \right)}}{{f\left( x \right) - 2}}

Για την συνάρτηση  δίνονται τα όρια  {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - \alpha }}{{x - 1}} = 4  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - \beta }}{x} = 3

και  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( {x + 1} \right) - f\left( x \right)}}{x} = \gamma  όπου \alpha ,\beta ,\gamma  \in R.  Να αποδειχτούν:

Α.   \alpha  = \beta

Β.   \gamma  = 1

Για την συνάρτηση  f:R \to R   δίνονται τα όρια  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {\ln \alpha } \right)}}{x} = \beta  \in R,\,\,\,\forall \alpha  \in \left( {0, + \infty } \right)

και   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\alpha f\left( x \right) - 1 + {\alpha ^2}}}{{x - 1}} = \gamma  \in R,\,\,\,\forall \alpha  \in \left( {0, + \infty } \right) . Αν  f\left( {x + 1} \right) < f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R

Α.   Να δειχτεί ότι f\left( {\ln \alpha } \right) \ge \frac{1}{\alpha } - \alpha ,\,\,\,\forall \alpha  > 0
Β.   Να δειχτεί ότι  f\left( x \right) \ge {e^{ - x}} - {e^x},\,\,\,\forall x \in R
Γ.   Αν επιπλέον η συνάρτηση  είναι περιττή

   1.   Να δειχτεί ότι  f\left( x \right) = {e^{ - x}} - {e^x},\,\,\,\forall x \in R

   2.   Να βρεθεί η αντίστροφή της.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R \to R  με f\left( x \right) \ne  - \frac{1}{2},\,\,\,\forall x \in R .

Αν f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}  και {f^2}\left( x \right) \le 2 - f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R  να αποδειχτεί ότι f\left( R \right) \subseteq \left( { - \frac{1}{2},1} \right]

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:\left[ {1, + \infty } \right) \to R  με f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - x + 1} \right) < 0,\,\,\,\forall x > 1

Α.   Να αποδειχτεί ότι f\left( x \right) > 0,\,\,\,\forall x > 1

Β.   Να αποδειχτεί ότι f\left( 1 \right) = 0

Γ.   Να υπολογιστεί το όριο   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{{x - 1}}

Δίνεται η συνάρτηση f:\left( {0, + \infty } \right) \to R . Αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( {{e^\alpha }} \right){x^3} - \alpha {x^2} - {e^\alpha }x + e + 1}}{{x - 1}},\,\,\,\forall \alpha  \in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι f\left( x \right) = \ln x + x - e - 1,\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι γνησίως αύξουσα

Γ.   Αν για την συνάρτηση g:R \to \left( {0, + \infty } \right)  ισχύει  \ln g\left( x \right) + g\left( x \right) = x,\,\,\,\forall x \in R  να αποδειχτεί ότι

   1.   g  1-1

   2.   {g^{ - 1}}\left( x \right) = \ln x + x,\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση  f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R.

Αν ισχύει  {f^2}\left( x \right) = 2{e^x}f\left( x \right) - 1,\,\,\,\forall x \ge 0

Α. Να αποδειχτεί ότι  f\left( 0 \right) = 1

Β. Να αποδειχτεί ότι  {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) \ne  - \infty \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) < 1

Γ. Να αποδειχτεί ότι  f\left( x \right) \le {e^x},\,\,\,\forall x \ge 0

Δ. Να αποδειχτεί ότι   f\left( x \right) = {e^x} - \sqrt {{e^{2x}} - 1} ,\,\,\,\forall x \ge 0

Ε. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της  f.