20. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Όριο - Συνέχεια

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:\left( { - \frac{\pi }{2},0} \right] \to R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,f\left( x \right) = \varepsilon \varphi x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,g\left( x \right) = \sqrt { - x}  .

Έστω το τυχαίο σημείο {\rm M}\left( {x,g\left( x \right)} \right),\,\,\,x \ne 0  της γραφικής παράστασης της g και ότι η κάθετη από το Μ στον άξονα των τετμημένων τέμνει αυτόν στο σημείο Α και την γραφική παράσταση της f στο Β. Αν d\left( x \right)  είναι η απόσταση του σημείου Μ από το σημείο \Gamma \left( { - 1,0} \right) και {\rm E}\left( x \right) το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ (Ο η αρχή των αξόνων) τότε:

Α.   Να αποδειχτεί ότι d\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + x + 1} ,\,\,\,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right) και {\rm E}\left( x \right) = \frac{{x\,\varepsilon \varphi x}}{2},\,\,\,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει σημείο Μ τέτοιο ώστε d\left( x \right) = {\rm E}\left( x \right) .

Γ.   Να υπολογιστεί το όριο   {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{d\left( x \right) + {\rm E}\left( x \right) - 1}}{x}

Δ.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση \varphi \left( x \right) = d\left( x \right) + {\rm E}\left( x \right) παίρνει την τιμή 1 τουλάχιστον μία φορά στο διάστημα \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right).