3. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ολοκληρώματα

Α.   Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα

   1.   int_0^x {t{e^t}dt} ,,,,x in R

   2.  int_0^x { - t{e^{ - t}}dt} ,,,,x in R

Β.   Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R  με

     f''left( x right) - fleft( x right) =  - 2x,,,,forall x in R. Αν f'left( 0 right) = 5,,,kappa alpha iota ,,,fleft( 0 right) = 1  

   1.   να αποδειχτεί ότι  fleft( x right) = 2x - {e^{ - x}} + 2{e^x}

   2.   Για κάθε x > 0 να δειχτεί ότι υπάρχει   xi  in left( {0,x} right):x,fleft( xi  right) = {x^2} + {e^{ - x}} + 2{e^x} - 3