6. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ολοκληρώματα

Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc}
{\frac{{{x^2}}}{{{e^x} - x - 1}},\,\,\,x \ne 0}\\
{\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x = 0}
\end{array}} \right.

 Α.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha  = 2

 Β.   Αν  g\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R   να αποδειχτεί ότι

   1.   Η g  είναι γνησίως αύξουσα

   2.   f\left( 0 \right) < \int_0^1 {g\left( x \right)dx}  < \frac{1}{2} + f\left( 1 \right)

 Γ.   Αν \int_\beta ^\gamma  {f'\left( x \right)} \,dx < 0,\,\,\,\beta ,\gamma  \in R  να αποδειχτεί ότι  \beta  > \gamma

 Δ.   Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα  \int_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)} f\left( x \right)dx  ως προς f\left( 1 \right)