7. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Θεωρήματα Παραγώγων

Δίνονται οι συναρτήσεις  f,g  δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με  fleft( 1 right) = f'left( 1 right)

και   {lim }limits_{h to 0} frac{{gleft( {fleft( x right) + h} right) + gleft( {fleft( x right) - h} right) - 2gleft( {fleft( x right)} right)}}{{{h^2}}} le x,f'left( x right),,,,forall x in R  

Α.   Να αποδειχτεί ότι

   1.   g''left( x right) =  -  {lim }limits_{h to 0} frac{{g'left( {x - h} right) - g'left( x right)}}{h} 

   2.   {lim }limits_{h to 0} frac{{gleft( {fleft( x right) + h} right) + gleft( {fleft( x right) - h} right) - 2gleft( {fleft( x right)} right)}}{{{h^2}}} = g''left( {fleft( x right)} right) 

Β.   Αν επιπλέον  g''left( x right) = x,,,,forall x in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι  f''left( 1 right) = 0

   2.   Για κάθε  x > 1  δείξτε ότι  fleft( x right) ge x,fleft( 1 right)